1、高考数学,专题八立体几何8.4直线、平面垂直的判定和性质,考点一直线与平面垂直的判定和性质1.线面垂直的判定和性质1)线面垂直的判定,2)线面垂直的性质,2.直线与平面所成的角1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.2)直线l与平面所成角的取值范围,3)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角.三余弦公式:cos=cos 1cos 2(如图所示,其中1是斜线OA与平面所成的角,2是斜线OA的射影AB与平面内的直线AC的夹角,是斜线OA与平面内的直线AC的夹角).,考点二平面与平面垂直的判定和性质
2、1.二面角1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.2)二面角的平面角在二面角的棱上任取一点,以此点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.记此角为,当=90时,二面角叫做直二面角.3)二面角的取值范围:0,.,2.面面垂直的判定和性质1)面面垂直的判定,2)面面垂直的性质,知识拓展1.三垂线定理及其逆定理1)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直.2)三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线与该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.2.垂直
3、问题的转化方向图,考法一判定或证明直线与平面垂直的方法1.利用线面垂直的判定定理:la,lb,ab=O,a,bl(主要方法);2.利用平行线垂直平面的传递性:ab,ab;3.利用面面垂直的性质定理:,=l,a,ala(主要方法);4.利用面面平行的性质:,aa;5.利用面面垂直的性质:,=ll.,例1(2018课标,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.,解析(1)证明:因为AP=CP=AC=4,所以APC为等边三角形,又O为AC的中点,
4、所以OPAC,且OP=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC,OBAC=O知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.由(1)可得OPCH,又OPOM=O,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,ACB=45.所以OM=,CH=.所以点C到平面POM的距离为.,考法二判定或证明平面与平面垂直的方法1.利用面面垂直的判定定理:l,l(主要方法);2.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,并计算其大小为90);3.利
5、用平行的传递性:,.,例2(2021全国乙文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,M为BC的中点,且PBAM.(1)证明:平面PAM平面PBD;(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.,解析(1)证明:由于PD平面ABCD,AM平面ABCD,则PDAM,又PBAM,PBPD=P,PB,PD平面PBD,所以AM平面PBD,因为AM平面PAM,所以平面PAM平面PBD.(2)由(1)知AM平面PBD,因为BD平面PBD,所以AMBD,所以MAB+ABD=90,因为四边形ABCD为矩形,所以DAB=ABM,所以MAB+AMB=90,所以ABD=AMB,则
6、DABABM,则=,又AB=DC=1,M为BC的中点,AD=,S矩形ABCD=ABAD=,V四棱锥P-ABCD=S矩形ABCDPD=1=.,考法三翻折问题的处理方法解决立体几何中的翻折问题,关键是搞清楚翻折前后图形中的位置关系和数量关系的变化情况,以及翻折过程中运动变化的点的位置.一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化.对于不变的关系一般在平面图形中处理,对于变化的关系则在立体图形中解决.,例3(2019课标理,19,12分)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=B
7、F=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.,解析(1)证明:由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,又BEBC=B,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC,垂足为H.,因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.,由已知,菱形BCGE的边长为2,EBC=60,可求得BH=1,EH=.以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),则=(1,0,),=(2,-1,0).设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则即所以可取n=(3,6,-).又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以cos=.因此二面角B-CG-A的大小为30.,
