1、高考数学,专题十一概率与统计11.3二项分布与正态分布,考点一条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式1.条件概率及其性质1)一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.2)条件概率的性质设P(A)0,则P(|A)=1;如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).2.全概率公式一般地,设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An=,且P(Ai),0,i=1,2,n,则对任意的事件B,有P(B)=,称此公式为全概率公式.3.相互
2、独立事件1)对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立.2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.4.n重伯努利试验与二项分布1)n重伯努利试验定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.,用Ai(i=1,2,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P
3、(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n).如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作XB(n,p).5.二项分布的均值与方差若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).,考点二正态分布1.正态曲线函数f(x)=,xR(其中R和(0)为参数)的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.2.正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为XN(,2).特别地,当=0,=1时,称随机变量X服从标准正态分布.3.正态分布的均值和方差若XN(,2),则E(X)=,D(X)=2.4.正态曲线的特点1)曲线位于x轴上方且与
4、x轴不相交;,2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称;3)曲线在x=处达到峰值;4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;5)曲线与x轴之间区域的面积为1;6)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴移动;7)当一定时,曲线的形状由确定,越小,曲线越“瘦高”;越大,曲线越“矮胖”.5.3原则1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(-X+)0.682 7;P(-2X+2)0.954 5;,P(-3X+3)0.997 3.2)3原则在实际应用中,通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取-3,+3中的值,这在统计学中称为3原则.,考法一条件概率的求法1.求条件概率的三种方法1)定义法:先求P(A)和P
5、(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).2)样本点个数法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点个数n(A),再求事件AB包含的样本点个数n(AB),得P(B|A)=.3)缩样法:去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型概率公式求解.,2.应用全概率公式求概率的步骤1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的的一个划分A1,A2,A3,An;,2)用Ai(i=1,2,3,n)来表示待求的事件;3)代入全概率公式求解.,例1(2022山东泰安二模,6)已知盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,现每次从中任意取一张,取出后不再放回,若抽取三次
6、,则在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率为()A.B.C.D.,解析设前两张卡片所标数字之和为偶数是事件A,第三张为奇数是事件B,则事件A包括前两张都为奇数或都为偶数两种情况,故P(A)=,P(AB)=,故在前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率P(B|A)=.,答案C,例2(2022山东临沂三模,13)某足球队在对球员的使用上进行数据分析,根据以往的数据统计,甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置,且出场率分别为0.3,0.5,0.2,当甲球员在相应位置时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6.据此判断当甲球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概
7、率为.,解析记甲球员出场担任前锋、中锋、后卫分别为事件A1,A2,A3;记甲球员出场担任前锋、中锋、后卫时输球分别为事件B1,B2,B3,当甲球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率P=P(A1)+P(A2)+P(A3)=P(A1)P()+P(A2)P()+P(A3)P()=0.3(1-0.4)+0.5(1-0.2)+0.2(1-0.6)=0.66.,答案0.66,考法二n重伯努利试验及二项分布问题的求解方法1.n重伯努利试验与二项分布的判断1)n重伯努利试验满足的条件:在同样的条件下重复进行;各次试验之间相互独立.2)二项分布模型的确定一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:明确伯努利试验
8、及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则XB(n,p).2.n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率求法n重伯努利试验中事件A恰好发生k次可看作个互斥事件的和,其中每一,个事件都可看作k个A事件与(n-k)个事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都是pk(1-p)n-k(其中p为在一次试验中事件A发生的概率).因此,n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率为pk(1-p)n-k.,例3(2019课标,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根
9、据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.,解析由题意可知七场四胜制且甲队以41获胜,则共比赛了5场,且第5场甲胜,前4场中甲胜3场.第一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则P1=0.60.40.52=2=;第二类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场中甲胜1场,则P2=0.620.50.5=2=,所以甲队以41获胜的概率为P=0.6=0.18.,答案0.18,例4(2019天津理,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、
10、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.,解析(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故XB,从而P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为,则随机变量X的数学期望E(X)=3=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则YB,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由题意知事
11、件X=3,Y=1与X=2,Y=0互斥,且事件X=3与Y=1,事件X=2与Y=0均相互独立,从而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=+=.,考法三正态分布问题的求解方法若XN(,2),则1)P(X)=P(X)=0.5;2)对任意的a,有P(X+a);3)P(Xx0)=1-P(Xx0);4)P(aXb)=P(Xb)-P(Xa);5)利用P(-X+),P(-2X+2),P(-3X+3)的值直接求.,例5(2023届广东佛山南海、三水摸底,4)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,XN(1,62),YN(2,22).X和Y的正态分布密度曲线如图所示,则下列结果正确的是(),A.D(X)=6B.12C.P(X38)P(Y38)D.P(X34)P(Y34),解析对于A,由随机变量X服从正态分布,且XN(1,62),可得随机变量X的方差为2=62,即D(X)=36,所以A错误;对于B,根据给定的正态分布密度曲线,可得随机变量1=30,2=34,所以1,P(Y34)=,即P(X34)P(Y34),所以D错误.故选C.,答案C,
