考研数学（一）真题及解析（1987-2019）.zip

11987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)当=_时,函数取得极小值.(2)由 曲 线与 两 直 线及所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 是_.(3)与两直线及都 平 行 且 过 原 点 的 平 面 方 程 为_ .(4)设为 取 正 向 的 圆 周则 曲 线 积 分=_.(5)已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为则 向 量在此基底下的坐标是_.二、二、(本题满分本题满分 8 分分)求正的常数与使等式成立.三、三、(本题满分本题满分 7 分分)(1)设、为连续可微函数求(2)设矩阵和满足关系式其中求矩阵四、四、(本题满分本题满分 8 分分)求微分方程的通解,其中常数 五、选择题五、选择题(本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 12 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则在处x2xyxlnyxe 1yx 0y 1x 1yt 121111xyz2ztL229,xy2(22)(4)Lxyy dxxx dy 123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(2,0,0)a,b22001lim1sinxxtdtbxxatfg,(,),(),uf x xy vg xxy,.uvxxAB2,AB=AB301110,014A.B26(9)1yyay0.a 2()()lim1,()xaf xf axa xa2(A)的导数存在,且(B)取得极大值(C)取得极小值(D)的导数不存在(2)设为已知连续函数其中则的值(A)依赖于和(B)依赖于、和(C)依赖于、,不依赖于(D)依赖于,不依赖于(3)设常数则级数(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与的取值有关(4)设为阶方阵，且的行列式而是的伴随矩阵，则等于(A)(B)(C)(D)六、（本题满分六、（本题满分 10 分）分）求幂级数的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分七、（本题满分 10 分）分）求曲面积分其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面,其法向量与轴正向的夹角恒大于 八、（本题满分八、（本题满分 10 分）分）设函数在闭区间上可微,对于上的每一个函数的值都在开区间内,且1,证明在内有且仅有一个使得 九、（本题满分九、（本题满分 8 分）分）问为何值时,现线性方程组()f x()0fa()f x()f x()f x()f x0,(),stItf tx dx0,0,tsIststxtxsst0,k 21(1)nnknnkAnA|0,aA*AA*|Aa1a1nana1112nnnxng2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy113()0zyyf xxyy.2()f x0,10,1,x()f x(0,1)()fx(0,1),x().f xx,a b3有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件发生的概率为现进行次独立试验,则至少发生一次的概率为_;而事件至多发生一次的概率为_.(2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球,第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为_.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量的概率密度函数为则的数学期望为_,的方差为_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设随机变量相互独立,其概率密度函数分别为 ,求的概率密度函数.123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax A,pnAAX2211()e,xxf xXX,X Y()Xfx 1001x其它()Yfy e0y00yy2ZXY41988 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、一、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求幂级数的收敛域.(2)设且,求及其定义域.(3)设为曲面的外侧,计算曲面积分二、填空题二、填空题(本题共本题共 4 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 12 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)若则=_.(2)设连续且则=_.(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间上定义为 ,则的傅里叶级数在处收敛于_.(4)设 4 阶矩阵其中均为 4 维列向量,且已知行列式则行列式=_.三、选择题三、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设可导且则时在处的微分是(A)与等价的无穷小(B)与同阶的无穷小(C)比低阶的无穷小(D)比高阶的无穷小(2)设是方程的一个解且则函数在点处(A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域则:1(3)3nnnxn2()e,()1xf xfxx()0 x()x2221xyz333.Ix dydzy dzdxz dxdy 21()lim(1),txxf ttx()f t()f x310(),xf t dtx(7)f(1,1()f x 22x1001xx()Fourier1x 234234,A B 234,4,1,ABAB()f x01(),2fx0 x,()f x0 xdyxxxx()yf x240yyy00()0,()0,f xfx()f x0 x2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz5(A)(B)(C)(D)(4)设幂级数在处收敛,则此级数在处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)维向量组线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数使(B)中任意两个向量均线性无关(C)中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四、四、(本题满分本题满分 6 分分)设其中函数、具有二阶连续导数,求 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设函数满足微分方程其图形在点处的切线与曲线在该点处的切线重合,求函数六、（本题满分六、（本题满分 9 分）分）设位于点的质点对质点的引力大小为为常数为质点与之间的距离),质点沿直线自运动到求在此运动过程中质点对质点的引力所作的功.七、（本题满分七、（本题满分 6 分）分）已知其中求八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分）已知矩阵与相似.124xdvdv124ydvydv124zdvzdv124xyzdvxyzdv1(1)nnnax1x 2x n12,(3)ssn 12,sk kk11220sskkk12,s 12,s 12,s()(),xyuyfxgyxfg222.uuxyxx y()yy x322e,xyyy(0,1)21yxx().yy x(0,1)AM2(0kkr,rAMM22yxx(2,0)B(0,0),OAM,APBP100100000,210,001211BP5,.A A20000101xA20000001yB6(1)求与(2)求一个满足的可逆阵 九、（本题满分九、（本题满分 9 分）分）设函数在区间上连续,且在内有证明:在内存在唯一的使曲线与两直线所围平面图形面积是曲线与两直线所围平面图形面积的 3 倍.十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件出现的概率相等,若已知至少出现一次的概率等于则事件在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间内任取两个数,则事件”两数之和小于”的概率为_.(3)设随机变量服从均值为 10,均方差为 0.02 的正态分布,已知则落在区间内的概率为_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数x.y1P APB.P()f x,a b(,)a b()0,fx(,)a b,()yf x(),yfxa1S()yf x(),yfxb2SAA19,27A(0,1)65X221()e,(2.5)0.9938,2uxxduX(9.95,10.05)X21(),(1)Xfxx31YX().Yfy71989 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知则=_.(2)设是连续函数,且则=_.(3)设平面曲线为下半圆周则曲线积分=_.(4)向量场在点处的散度=_.(5)设矩阵则矩阵=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时,曲线(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面上点处的切平面平行于平面则点的坐标是(A)(B)(C)(D)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)(B)(C)(D)(4)设函数而其中(3)2,f 0(3)(3)lim2hfhfh()f x10()2(),f xxf t dt()f xL21,yx 22()Lxydsdivu(1,1,0)Pdivu300100140,010,003001AI1(2)AI0 x 1sinyxx224zxyP2210,xyz(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)11223c yc yy1122123()c yc yccy1122123(1)c yc yccy1122123(1)c yc yccy2(),01,f xxx1()sin,nnS xbn xx 8则等于(A)(B)(C)(D)(5)设是阶矩阵,且的行列式则中(A)必有一列元素全为 0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)设其中函数二阶可导具有连续二阶偏导数,求 (2)设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且计算的值.(3)计算三重积分其中是由曲面与所围成的区域.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)将函数展为的幂级数.五、五、(本题满分本题满分 7 分分)设其中为连续函数,求 六、（本题满分六、（本题满分 7 分）分）证明方程在区间内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分七、（本题满分 6 分）分）问为何值时,线性方程组102()sin,1,2,3,nbf xn xdx n1()2S 12141412AnA0,AA(2)(,),zfxyg x xy()f t,(,)g u v2.zx y 2()cxy dxyx dy()x(0)0,(1,1)2(0,0)()xy dxyx dy(),xz dv22zxy221zxy1()arctan1xf xxx0()sin()(),xf xxxt f t dtf().f x0ln1 cos2exxxdx(0,)13xx123422xxx1236423xxx9有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分）假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明(1)为的特征值.(2)为的伴随矩阵的特征值.九、（本题满分九、（本题满分 9 分）分）设半径为的球面的球心在定球面上,问当为何值时,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件的概率随机事件的概率及条件概率则和事件的概率=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量在上服从均匀分布,则方程有实根的概率是_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设随机变量与独立,且服从均值为 1、标准差(均方差)为的正态分布,而服从标准正态分布.试求随机变量的概率密度函数.nA11AAA*AR2222(0)xyzaaRA()0.5,P A B()0.6P B(|)0.8,P B A AB()P AB(1,6)210 xx XYX2Y23ZXY101990 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)过点且与直线垂直的平面方程是_.(2)设为非零常数,则=_.(3)设函数 ,则=_.(4)积分的值等于_.(5)已知向量组则该向量组的秩是_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设是连续函数,且则等于(A)(B)(C)(D)(2)已知函数具有任意阶导数,且则当为大于 2 的正整数时的阶导数是(A)(B)(C)(D)(3)设为常数,则级数(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与的取值有关(4)已知在的某个邻域内连续,且则在点处2xt (1,2 1)M34yt1zt alim()xxxaxa()f x 1011xx()f f x2220eyxdxdy1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),()f xe()(),xxF xf t dt()F xe(e)()xxff xe(e)()xxff xe(e)()xxff xe(e)()xxff x()f x2()(),fxf xn,()f xn()()nfx1!()nnf x1()nn f x2()nf x2!()nnf xa21sin()1nnanna()f x0 x 0()(0)0,lim2,1 cosxf xfx0 x 11(A)不可导(B)可导,且(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知、是非齐次线性方程组的两个不同的解、是对应其次线性方程组的基础解析、为任意常数,则方程组的通解(一般解)必是(A)(B)(C)(D)三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求(2)设其中具有连续的二阶偏导数,求(3)求微分方程的通解(一般解).四、四、(本题满分本题满分 6 分分)求幂级数的收敛域,并求其和函数.五、五、(本题满分本题满分 8 分分)求曲面积分其中是球面外侧在的部分.六、（本题满分六、（本题满分 7 分）分）设 不 恒 为 常 数 的 函 数在 闭 区 间上 连 续,在 开 区 间内 可 导,且证明在内至少存在一点使得 七、（本题满分七、（本题满分 6 分）分）设四阶矩阵且矩阵满足关系式()f x(0)0f 12AXb1,2AX01,k2kAXb1211212()2kk1211212()2kk1211212()2kk1211212()2kk120ln(1).(2)xdxx(2,sin),zfxy yx(,)f u v2.zx y 244exyyy0(21)nnnx2SIyzdzdxdxdyS2224xyz0z()f x,a b(,)a b()().f af b(,)a b,()0.f1100213401100213,0011002100010002BCA1()A EC B CE12其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分）求一个正交变换化二次型成标准型.九、（本题满分九、（本题满分 8 分）分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3,4)B的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功.十、填空题十、填空题(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 2 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量的概率密度函数则的概率分布函数=_.(2)设随机事件、及其和事件的概率分别是 0.4、0.3 和 0.6,若表示的对立事件,那么积事件的概率=_.(3)已 知 离 散 型 随 机 变 量服 从 参 数 为 2 的 泊 松分 布,即则随机变量的数学期望=_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设二维随机变量在区域内服从均匀分布,求关于的边缘概率密度函数及随机变量的方差E1,CC,CC.A22212312132344448fxxxx xx xx xX1()e,2xf xx X()F xABBBAB()P ABX()Poisson22 e,0,1,2,!kP Xkkk32ZX()E Z(,)X Y:01,DxyxX21ZX().D Z131991 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设 ,则=_.(2)由方程所确定的函数在点处的全微分=_.(3)已知两条直线的方程是则过且平行于的平面方程是_.(4)已知当时与是等价无穷小,则常数=_.(5)设 4 阶方阵则的逆阵=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数满足关系式则等于(A)(B)(C)(D)(3)已知级数则级数等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设是平面上以、和为顶点的三角形区域是在第一21cosxtyt 22d ydx2222xyzxyz(,)zz x y(1,0,1)dz1212321:;:.101211xyzxyzll1l2l0 x 123,(1)1axcos1xa52002100,00120011AA1A221 e1 exxy()f x20()()ln2,2tf xfdt()f xe ln2x2eln2xeln2x2eln2x12111(1)2,5,nnnnnaa1nnaDxoy(1,1)(1,1)(1,1)1,DD14象限的部分,则等于(A)(B)(C)(D)0(5)设阶方阵、满足关系式其中是阶单位阵,则必有(A)(B)(C)(D)三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求(2)设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数在点处沿方向的方向导数.(3)其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围城的立体.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)过点和的曲线族中,求一条曲线使沿该曲线从到的积分的值最小.五、五、(本题满分本题满分 8 分分)将函数展开成以 2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数的和.六、（本题满分六、（本题满分 7 分）分）设函数在上连续内可导,且证明在内存在一点使 七、（本题满分七、（本题满分 8 分）分）已知及(cos sin)Dxyxy dxdy12cos sinDxydxdy12Dxydxdy14(cos sin)Dxyxy dxdynABC,ABCEEnACBECBAEBACEBCAE20lim(cos).xxn222236xyz(1,1,1)P2268xyuzPn22(),xyz dv220yzxz4z(0,0)O(,0)Asin(0)yax a,LOA3(1)(2)Ly dxxy dy()2(11)f xxx 211nn()f x0,1,(0,1)1233()(0),f x dxf(0,1),c()0.fc1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)aa15(1)、为何值时不能表示成的线性组合?(2)、为何值时有的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分八、（本题满分 6 分）分）设是阶正定阵是阶单位阵,证明的行列式大于 1.九、（本题满分九、（本题满分 8 分）分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点处的切线与轴平行.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)若随机变量服从均值为 2、方差为的正态分布,且则=_.(2)随机地向半圆为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设二维随机变量的密度函数为 求随机变量的分布函数.(1,1,3,5).bab,1234,ab,1234,An,EnAE(,)P x yPQQx(1,1)xX2240.3,PX0P X 202(yaxxax4(,)X Y(,)f x y(2)2e0,00 xyxy其它2ZXY161992 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)设函数由方程确定,则=_.(2)函数在点处的梯度=_.(3)设 ,则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_.(4)微分方程的通解为=_.(5)设其中则矩阵的秩=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时,函数的极限(A)等于 2(B)等于 0(C)为(D)不存在但不为(2)级数常数(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(3)在曲线的所有切线中,与平面平行的切线(A)只有 1 条(B)只有 2 条(C)至少有 3 条(D)不存在(4)设则使存在的最高阶数为(A)0(B)1(C)2(D)3()yy xecos()0 x yxydydx222ln()uxyz(1,2,2)MgradMu()f x 211x00 xx2xtancosyyxxy1 11 212 12 1212,nnnnnnabababa ba ba ba ba ba bA0,0,(1,2,).iiabinA()r A1x 1211e1xxx1(1)(1 cos)(nnan0)a a23,xt ytzt 24xyz32()3,f xxx x()(0)nfn17(5)要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为(A)(B)(C)(D)三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求(2)设其中具有二阶连续偏导数,求(3)设 ,求 四、四、(本题满分本题满分 6 分分)求微分方程的通解.五、五、(本题满分本题满分 8 分分)计算曲面积分其中为上半球面的上侧.六、（本题满分六、（本题满分 7 分）分）设证明对任何有 七、（本题满分七、（本题满分 8 分）分）在 变 力的 作 用 下,质 点 由 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面上第一卦限的点问当、取何值时,力所做的功最大?并求出的最大值.八、（本题满分八、（本题满分 7 分）分）设向量组线性相关,向量组线性无关,问:(1)能否由线性表出?证明你的结论.12100,121 AX0A21220101110201101142201120esin1lim.11xxxx22(e sin,),xzfy xyf2.zx y()f x 21exx00 xx31(2).f xdx323exyyy323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy222zaxy()0,(0)0,fxf120,0,xx1212()()().f xxf xf xFyzizxjxyk2222221xyzabc(,),M FWW123,234,123,18(2)(2)能否由线性表出?证明你的结论.九、（本题满分九、（本题满分 7 分）分）设 3 阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为 又向量(1)将用线性表出.(2)求为自然数).十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已知则事件、全不发生的概率为_.(2)设随机变量服从参数为 1 的指数分布,则数学期望=_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设随机变量与独立服从正态分布服从上的均匀分布,试求的 概 率 分 布 密 度(计 算 结 果 用 标 准 正 态 分 布 函 数表 示,其 中.4123,A1231,2,3,1231111,2,3,149 12.3 123,(nnA 11()()(),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BCABCX2eXE XXY,X2(,),NY,ZXY221()e)2txxdt191993 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)函数的单调减少区间为_.(2)由曲线 绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_.(3)设函数的傅里叶级数展开式为则其中系数的值为_.(4)设数量场则=_.(5)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为则线性方程组的通解为_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则当时是的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为(A)(B)(C)(D)(3)设有直线与 则与的夹角为(A)(B)(C)(D)11()(2)(0)xF xdt xt2232120 xyzy(0,3,2)2()()f xxxx01(cossin),2nnnaanxbnx3b222ln,uxyzdiv(grad)unAA1,nAX0sin2340()sin(),(),xf xtdt g xxx0 x,()f x()g x22222()xyxy402cos2 d 404cos2 d 402cos2 d 2401(cos2)2d1158:121xyzl2:l623xyyz1l2l643220(4)设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续导数,且则等于(A)(B)(C)(D)(5)已知为三阶非零矩阵,且满足则(A)时的秩必为 1(B)时的秩必为 2(C)时的秩必为 1(D)时的秩必为 2 三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)求(2)求(3)求微分方程满足初始条件的特解.四、四、(本题满分本题满分 6 分分)计算其中是由曲面与所围立体的表面外侧.五、五、(本题满分本题满分 7 分分)求级数的和.六、六、(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 10 分分)(1)设在上函数有连续导数,且证明在内有且仅有一个零点.(2)设证明 七、（本题满分七、（本题满分 8 分）分）已知二次型通过正交变换化成标准形()e sin()cosxLf tydxf xydy()f x(0)0,f()f xee2xxee2xxee12xxee12xx12324,369tQP0,PQ6t P6t P6t P6t P21lim(sincos).xxxxe.e1xxxdx22,x yxyy11xy22,xzdydzyzdzdxz dxdy 22zxy222zxy20(1)(1)2nnnnn0,)()f x()0,(0)0,fxkf()f x(0,),bae.baab22212312323(,)2332(0)f x xxxxxax x a21求参数及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分八、（本题满分 6 分）分）设是矩阵是矩阵,其中是阶单位矩阵,若证明的列向量组线性无关.九、（本题满分九、（本题满分 6 分）分）设物体从点出发,以速度大小为常数沿轴正向运动.物体从点与同时出发,其速度大小为方向始终指向试建立物体的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2)设随机变量服从上的均匀分布,则随机变量在内的概率分布密度=_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设随机变量的概率分布密度为(1)求的数学期望和方差(2)求与的协方差,并问与是否不相关?(3)问与是否相互独立?为什么?22212325,fyyyaAn m,Bm n,nmIn,ABIBA(0,1)vyB(1,0)A2,v,ABX(0,2)2YX(0,4)()YfyX1()e,.2xf xx XEX.DXXXXXXX221994 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)=_.(2)曲面在点处的切平面方程为_.(3)设则在点处的值为_.(4)设区域为则=_.(5)已知设其中是的转置,则=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设则有(A)(B)(C)(D)(2)二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数且级数收敛,则级数(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(4)其中则必有(A)(B)(C)(D)(5)已知向量组线性无关,则向量组011limcot()sinxxxe23xzxy(1,2,0)esin,xxuy2ux y 1(2,)D222,xyR2222()Dxydxdyab1 11,2,3,1,2 3,A nA4342342222222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxxNPMMPNNMPPMN(,)f x y00(,)xy00(,)xfxy00(,)yfxy(,)f x y0,21nna21(1)nnnan20tan(1 cos)lim2,ln(1 2)(1)xxaxbxcxde220,ac4bd4bd 4ac4ac 1234,23(A)线性无关(B)线性无关(C)线性无关(D)线性无关 三、三、(本题共本题共 3 小题小题,每小题每小题 5 分分,满分满分 15 分分)(1)设 ,求、在的值.(2)将函数展开成的幂级数.(3)求 四、四、(本题满分本题满分 6 分分)计 算 曲 面 积 分其 中是 由 曲 面及两平面所围成立体表面的外侧.五、五、(本题满分本题满分 9 分分)设具有二阶连续函数且为一全微分方程,求及此全微分方程的通解.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设在点的某一邻域内具有二阶连续导数,且证明级数绝对收敛.七、（本题满分七、（本题满分 6 分）分）已知点与的直角坐标分别为与线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面为求由及两平面所围成的立体体积.八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分）12233441,12233441,12233441,12233441,2221cos()1cos()cos2txtyttuduudydx22d ydx2t111()lnarctan412xf xxxxx.sin(2)2sindxxx2222,Sxdydzz dxdyxyzS222xyR,(0)zR zR R()f x,(0)0,(0)1,ff 2()()()0 xy xyf x y dxfxx y dy()f x()f x0 x 0()lim0,xf xx11()nfnAB(1,0,0)(0,1,1).ABx.SS0,1zz24设四元线性齐次方程组()为 ,又已知某线性齐次方程组()的通解为(1)求线性方程组()的基础解析.(2)问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分九、（本题满分 6 分）分）设为阶非零方阵是的伴随矩阵是的转置矩阵,当时,证明 十、填空题十、填空题(本题共本题共 2 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 6 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)已 知、两 个 事 件 满 足 条 件且则=_.(2)设相互独立的两个随机变量具有同一分布率,且的分布率为X01P1212则随机变量的分布率为_.十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）设随机变量和分别服从正态分布和且与的相关系数设(1)求的数学期望和方差.(2)求与的相关系数(3)问与是否相互独立?为什么?122400 xxxx12(0,1,1,0)(1,2,2,1).kkAn*,AA,AA*AA0.AAB()(),P ABP AB(),P Ap()P B,X YXmax,ZX YXY2(1,3)N2(0,4),NXY1,2xy,32XYZ ZEZDZXZ.xzXY251995 年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)=_.(2)=_.(3)设则=_.(4)幂级数的收敛半径=_.(5)设 三 阶 方 阵满 足 关 系 式且则=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题小题,每小题每小题 3 分分,满分满分 15 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线 ,及平面则直线(A)平行于(B)在上(C)垂直于(D)与斜交(2)设在上则或的大小顺序是(A)(B)(C)(D)(3)设可导则是在处