1、2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1（5分）设集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32（5分）设i是虚数单位，则复数i3=（）AiB3iCiD3i3（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）ABCD4（5分）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx5（5分）过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，
2、交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D46（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A144个B120个C96个D72个7（5分）设四边形ABCD为平行四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，则=（）A20B15C9D68（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件9（5分）如果函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，那么mn的最大值为（）A16B18C25D10（5分）设直线l与
3、抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）在（2x1）5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字填写答案）12（5分）sin15+sin75的值是 13（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k、b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时1
4、4（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为 15（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中aR）对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=现有如下命题：对于任意不相等的实数x1、x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证
5、明过程或演算步骤。16（12分）设数列an（n=1，2，3，）的前n项和Sn满足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值17（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望18（12
6、分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N（）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（）证明：直线MN平面BDH；（）求二面角AEGM的余弦值19（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角（）证明：tan=；（）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值20（13分）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2（）求椭圆E的方程；（）在平面直角坐标系xOy中，
7、是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由21（14分）已知函数f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解2015年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1（5分）设集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x
8、2Dx|2x3【分析】求解不等式得出集合A=x|1x2，根据集合的并集可求解答案【解答】解：集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，集合A=x|1x2，AB=x|1x3，故选：A【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题2（5分）设i是虚数单位，则复数i3=（）AiB3iCiD3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可【解答】解：i是虚数单位，则复数i3，=i，故选：C【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题3（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）ABCD【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k4，
9、计算并输出S的值为【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k4，k=3不满足条件k4，k=4不满足条件k4，k=5满足条件k4，S=sin=，输出S的值为故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题4（5分）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可【解答】解：y=cos（2x+）=sin2x，是奇函数，函数的周期为：，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：，不满足题意
10、，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2，所以D不正确；故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力5（5分）过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|【解答】解：双曲线x2=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y
11、A=2，yB=2，|AB|=4故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用6（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A144个B120个C96个D72个【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中
12、1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有324=72个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有224=48个，共有72+48=120个故选：B【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况7（5分）设四边形ABCD为平行四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，则=（）A20B15C9D6【分析】根据图形得出=+=，=，=（）=2，结合向量结合向量的数量积求解即可
13、【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，根据图形可得：=+=，=，=，=（）=2，2=22，=22，|=6，|=4，=22=123=9故选：C【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示8（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】求解3a3b3，得出ab1，loga3logb3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】解：a、b都是不等于1的正数，3a3b3，ab1，loga3logb3，即
14、0，或求解得出：ab1或1ab0或b1，0a1根据充分必要条件定义得出：“3a3b3”是“loga3logb3”的充分条不必要件，故选：B【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论9（5分）如果函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，那么mn的最大值为（）A16B18C25D【分析】函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，则f（x）0，故（m2）x+n80在，2上恒成立而（m2）x+n8是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0即可结合基本不等
15、式求出mn的最大值【解答】解：函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，f（x）0，故（m2）x+n80在，2上恒成立而（m2）x+n8是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0即可即由（2）得m（12n），mnn（12n）=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）故选：B解法二：函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，m=2，n8对称轴x=，即即设或或设y=，y=，当切点为（x0，y0），k取最大值=2k=2x，y0=2x0+12，y0=2x0，可得x0=
16、3，y0=6，x=32k的最大值为36=18=，k=，y0=，2y0+x018=0，解得：x0=9，y0=x02不符合题意m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选：B【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题10（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=2，所以交点
17、与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3将x=3代入y2=4x，得y2=12，2，M在圆上，（x05）2+y02=r2，r2=y02+412+4=16，直线l恰有4条，y00，4r216，故2r4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2r4，故选：D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的
18、位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11（5分）在（2x1）5的展开式中，含x2的项的系数是40（用数字填写答案）【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；要求x2的项的系数，5r=2，r=3，x2的项的系数是22（1）3C53=40故答案为：40【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具12（5分）s
19、in15+sin75的值是【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可【解答】解：sin15+sin75=sin15+cos15=（sin15cos45+cos15sin45）=sin60=故答案为：【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力13（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k、b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是24小时【分析】由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48代入函数y=ekx+b，解
20、方程，可得k，b，再由x=33，代入即可得到结论【解答】解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48代入函数y=ekx+b，可得eb=192，e22k+b=48，即有e11k=，eb=192，则当x=33时，y=e33k+b=192=24故答案为：24【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题14（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为【分析】首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2
21、，M（0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cos=得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cos的最大值【解答】解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；M在线段PQ上，设M（0，y，2），0y2；cos=；设f（y）=，；函数g（y）=2y5是一次函数，且为减函数，g（0）=50；g（y）0在0，2恒成立，f（y）0；f（y）在0，2上单调递减；y=0时，f（y）取到最大值故答案为：【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面
22、直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系15（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中aR）对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=现有如下命题：对于任意不相等的实数x1、x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n其中的真命题有（写出所有真命题的序号）【分析】运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断；通过函数h（x）=x2+ax2x，求出导
23、数判断单调性，即可判断；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断【解答】解：对于，由于21，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m0，则正确；对于，由二次函数的单调性可得g（x）在（，）递减，在（，+）递增，则n0不恒成立，则错误；对于，由m=n，可得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），即为g（x1）f（x1）=g（x2）f（x2），考查函数h（x）=x2+ax2x，h（x）=2x+a2xln2，当a，h（x）小于0，h（x）单调递减，则错误；对于，由m=n，可得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），考查函数h（x）=x2+ax+2x，h（x）=
24、2x+a+2xln2，对于任意的a，h（x）不恒大于0或小于0，则正确故答案为：【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16（12分）设数列an（n=1，2，3，）的前n项和Sn满足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值【分析】（）由已知数列递推式得到an=2an1（n2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列an是首项为2，公比为2的
25、等比数列，则其通项公式可求；（）由（）求出数列的通项公式，再由等比数列的前n项和求得Tn，结合求解指数不等式得n的最小值【解答】解：（）由已知Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1 （n2），即an=2an1（n2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又a1，a2+1，a3成等差数列，a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2数列an是首项为2，公比为2的等比数列故；（）由（）得：，由，得，即2n100029=51210001024=210，n10于是，使|Tn1|成立的n的最小值为10【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识
26、，考查运算求解能力，是中档题17（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望【分析】（）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望【解答】解：（）由题意，参加集训的男
27、、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1=；（）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=X的分布列： X 1 2 3 P 和数学期望EX=1=2【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力18（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N（）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶
28、点处（不需说明理由）；（）证明：直线MN平面BDH；（）求二面角AEGM的余弦值【分析】（）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；（）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN平面BDH；（）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】解：（）F、G、H的位置如图；证明：（）连接BD，设O是BD的中点，BC的中点为M、GH的中点为N，OMCD，OM=CD，HNCD，HN=CD，OMHN，OM=HN，即四边形MNHO是平行四边形，MNOH，MN平面BDH；OH面BDH，直线MN平面BDH；（）方法一：连接AC，过M作MHAC于P，则正方体ABCDEF
29、GH中，ACEG，MPEG，过P作PKEG于K，连接KM，EG平面PKM则KMEG，则PKM是二面角AEGM的平面角，设AD=2，则CM=1，PK=2，在RtCMP中，PM=CMsin45=，在RtPKM中，KM=，cosPKM=，即二面角AEGM的余弦值为方法二：以D为坐标原点，分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），则=（2，2，0），设平面EGM的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=2，得=（2，2，1），在正方体中，DO平面AEGC，则=（1，1，0）是平面AEG的一个法向量，
30、则cos=二面角AEGM的余弦值为【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力19（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角（）证明：tan=；（）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值【分析】（）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可（）通过A+C=180，得C=180A，D=180B，利用（）化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可【解答】证明：（）t
31、an=等式成立（）由A+C=180，得C=180A，D=180B，由（）可知：tan+tan+tan+tan=，连结BD，在ABD中，有BD2=AB2+AD22ABADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在BCD中，有BD2=BC2+CD22BCCDcosC，所以AB2+AD22ABADcosA=BC2+CD22BCCDcosC，则：cosA=于是sinA=，连结AC，同理可得：cosB=，于是sinB=所以tan+tan+tan+tan=【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用20（13分）如图，椭圆E：的离心
32、率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2（）求椭圆E的方程；（）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是，计算即得结论；（）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可【解答】解：（）直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，点（，1）
33、在椭圆E上，又离心率是，解得a=2，b=，椭圆E的方程为：+=1；（）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有=1，即|QC|=|QD|Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，），又=，=，解得y0=1或y0=2若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）下面证明：对任意直线l，均有当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别
34、为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx2=0，=（4k）2+8（1+2k2）0，x1+x2=，x1x2=，+=2k，已知点B关于y轴对称的点B的坐标为（x2，y2），又kAQ=k，kQB=k+=k，kAQ=kQB，即Q、A、B三点共线，=故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题21（14分）已知函数f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2
35、a2+a，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【分析】（）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；（）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数（x）=x2，由函数零点存在定理得到x0（1，e），使得（x0）=0令，u（x）=x1lnx（x1），利用导数求得a0（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x（1，+），有f
36、（x）0，即可得到存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【解答】解：（）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+），g（x）=，当0a时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g（x）在（0，+）上单调递增（）由=0，解得，令（x）=x2，则（1）=10，（e）=故存在x0（1，e），使得（x0）=0令，u（x）=x1lnx（x1），由知，函数u（x）在（1，+）上单调递增即a0（0，1），当a=a0时，有f（x0）=0，f（x0）=（x0）=0由（）知，f（x）在（1，+）上单调递增，故当x（1，x0）时，f（x）0，从而f（x）f（x0）=0；当x（x0，+）时，f（x）0，从而f（x）f（x0）=0当x（1，+）时，f（x）0综上所述，存在a（0，1），使得f（x）0在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题第28页（共28页）
