1、2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）设集合M=x|1x2，集合N=x|1x3，则MN=（）Ax|1x3Bx|1x2Cx|1x3Dx|1x22（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A2B3C4D63（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法4（5分）设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”
2、的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5（5分）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx6（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）ABCD7（5分）过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D48（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是
3、48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B20小时C24小时D28小时9（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）ABC12D1610（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）设i是虚数单位，则复数i= 12（5分）lg0.01+log216的值是 13（5分）已知sin+2cos=0，则2sincoscos2的值是 14（5分）在三棱住ABCA1B1C
4、1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是 15（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中aR）对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=现有如下命题：对于任意不相等的实数x1、x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤16（12分）设数列an（n=1，2，3）的前n项和Sn，满足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设数列的前n项和为Tn，求Tn17（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位（）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法下表给出其中两种坐法
6、，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号3214532451 （）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率18（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示（）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（）判断平面BEG与平面ACH的位置关系并说明你的结论（）证明：直线DF平面BEG19（12分）已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若AB=3，AC=，求p的值20（13分）如图，椭圆E：=1（ab0）的
7、离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且=1（）求椭圆E的方程；（）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点是否存在常数，使得+为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由21（14分）已知函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解2015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）设集合M=x|1x2，集合N=x|1x
8、3，则MN=（）Ax|1x3Bx|1x2Cx|1x3Dx|1x2【分析】根据并集的定义解答即可【解答】解：根据并集的定义知：MN=x|1x3，故选：A【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键2（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A2B3C4D6【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=26，解得x=3；故选：B【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym3（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学
9、生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4（5分）设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】先求出l
10、og2alog2b0的充要条件，再和ab1比较，从而求出答案【解答】解：若log2alog2b0，则ab1，故“ab1”是“log2alog2b0”的充要条件，故选：A【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题5（5分）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可【解答】解：y=cos（2x+）=sin2x，是奇函数，函数的周期为：，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：，不满足题
11、意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2，所以D不正确；故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力6（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）ABCD【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k4，计算并输出S的值为【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k4，k=3不满足条件k4，k=4不满足条件k4，k=5满足条件k4，S=sin=，输出S的值为故选：D【
12、点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题7（5分）过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）AB2C6D4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|【解答】解：双曲线x2=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得yA=2，yB=2，|AB|=4故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用8（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b为常
13、数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B20小时C24小时D28小时【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可【解答】解：y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）当x=0时，eb=192，当x=22时e22k+b=48，e22k=e11k=eb=192当x=33时，e33k+b=（ek）33（eb）=（）3192=24故选：C【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解9（5分）设实数x
14、，y满足，则xy的最大值为（）ABC12D16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y102x，则xyx（102x）=2x（5x）2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键10（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【分
15、析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3将x=3代入y2=4x，得y2=12，2，M在圆上，（x05）2+y02=r2，r2=y02+412+4=16，直线l恰有4条，y00，4r216，故2r4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以
16、直线l恰有4条，2r4，故选：D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）设i是虚数单位，则复数i=2i【分析】直接利用复数的运算法则求解即可【解答】解：复数i=i=i+i=2i故答案为：2i【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力12（5分）lg0.01+log216的值是2【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【解答】解：lg0.01+log216=2+4=2故答案为：2【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力13（5分）已知sin+2cos=0，则2sinco
17、scos2的值是1【分析】已知等式移项变形求出tan的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：sin+2cos=0，即sin=2cos，tan=2，则原式=1，故答案为：1【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14（5分）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC=90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥PAMN的体积即可【解答】解
18、：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，底面积为，所求三棱锥的高为NP=1，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的，所求三棱锥PA1MN的体积是：=故答案为：【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力15（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中aR）对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=现有如下命题：对于任意不相等的实数x1、x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得
19、m=n；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n其中的真命题有（写出所有真命题的序号）【分析】运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断；通过函数h（x）=x2+ax2x，求出导数判断单调性，即可判断；通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断【解答】解：对于，由于21，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m0，则正确；对于，由二次函数的单调性可得g（x）在（，）递减，在（，+）递增，则n0不恒成立，则错误；对于，由m=n，可得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），即为g（x1）f（x1）=g（x2）f（x2），考查函数h（x
20、）=x2+ax2x，h（x）=2x+a2xln2，当a，h（x）小于0，h（x）单调递减，则错误；对于，由m=n，可得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），考查函数h（x）=x2+ax+2x，h（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h（x）不恒大于0或小于0，则正确故答案为：【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）设数列an（n=1，2，3）的前n项和Sn，满足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式
21、；（）设数列的前n项和为Tn，求Tn【分析】（）由条件Sn满足Sn=2ana1，求得数列an为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列an的通项公式（）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn【解答】解：（）由已知Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1（n2），即an=2an1（n2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列故an=2n（）由（）得=，所以Tn=+
22、=1【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题17（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位（）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P
23、1P2P3P4P5座位号32145324513241532541（）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率【分析】（）根据题意，可以完成表格；（）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率【解答】解：（）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541（）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5
24、 1 2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）=答：乘客P5坐到5号座位的概率是【点评】本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键18（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示（）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（）判断平面BEG与平面ACH的位置关系并说明你的结论（）证明：直线DF平面BEG【分析】（）直接标出点F，G，H的位置（）先证BCHE为平行四边形，可知BE平面ACH，同理可证BG平面ACH，即可证明平面BEG平面ACH（
25、）连接FH，由DHEG，又DHEG，EGFH，可证EG平面BFHD，从而可证DFEG，同理DFBG，即可证明DF平面BEG【解答】解：（）点F，G，H的位置如图所示（）平面BEG平面ACH，证明如下：ABCDEFGH为正方体，BCFG，BC=EH，又FGEH，FG=EH，BCEH，BC=EH，BCHE为平行四边形BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBG=B，平面BEG平面ACH（）连接FH，ABCDEFGH为正方体，DHEG，又EG平面EFGH，DHEG，又EGFH，EGFH=O，EG平面BFHD，又DF平面BFHD，DFEG，同理DFBG，又
26、EGBG=G，DF平面BEG【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题19（12分）已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若AB=3，AC=，求p的值【分析】（）由判别式=3p2+4p40，可得p2，或p，由韦达定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p，由两角和的正切函数公式可求tanC=tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值（）由正弦定理可求sinB=，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75，
27、从而可求p=（tanA+tanB）的值【解答】解：（）由已知，方程x2+pxp+1=0的判别式：=（p）24（p+1）=3p2+4p40，所以p2，或p由韦达定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p所以，1tanAtanB=1（1p）=p0，从而tan（A+B）=所以tanC=tan（A+B）=，所以C=60（）由正弦定理，可得sinB=，解得B=45，或B=135（舍去）于是，A=180BC=75则tanA=tan75=tan（45+30）=2+所以p=（tanA+tanB）=（2+）=1【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函
28、数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题20（13分）如图，椭圆E：=1（ab0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且=1（）求椭圆E的方程；（）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点是否存在常数，使得+为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【分析】（）通过e=、=1，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当=1时+=3；当直线AB的斜率不存在时，+=3【解答】解：（）根据题意，可得C（0，b），D（0，b），又P（0，1），且=1，解得a=2，b=，椭圆
29、E的方程为：+=1；（）结论：存在常数=1，使得+为定值3理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx2=0，=（4k）2+8（1+2k2）0，x1+x2=，x1x2=，从而+=x1x2+y1y2+x1x2+（y11）（y21）=（1+）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=2当=1时，2=3，此时+=3为定值；当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时+=+=21=3；故存在常数=1，使得+为定值3【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等
30、基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题21（14分）已知函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0（）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（）证明：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【分析】（I）函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0可得：x0g（x）=f（x）=2（x1lnxa），可得g（x）=，分别解出g（x）0，g（x）0，即可得出单调性（II）由f（x）=2（x1lnxa）=0，可得a=x1lnx，代入f（x）
31、可得：u（x）=（1+lnx）22xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x01lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出【解答】（I）解：函数f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0可得：x0g（x）=f（x）=2（x1lnxa），g（x）=，当0x1时，g（x）0，函数g（x）单调递减；当1x时，g（x）0，函数g（x）单调递增（II）证明：由f（x）=2（x1lnxa）=0，解得a=x1lnx，令u（x）=2xlnx+x22（x1lnx）x+（x1lnx）2=（1+lnx）22xlnx，则u（1）=10，u（e）=2（2e）0
32、，存在x0（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x01lnx0=v（x0），其中v（x）=x1lnx（x1），由v（x）=10，可得：函数v（x）在区间（1，+）上单调递增0=v（1）a0=v（x0）v（e）=e21，即a0（0，1），当a=a0时，有f（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0再由（I）可知：f（x）在区间（1，+）上单调递增，当x（1，x0）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；当x（x0，+）时，f（x）0，f（x）f（x0）=0；又当x（0，1，f（x）=2xlnx0故当x（0，+）时，f（x）0恒成立综上所述：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+）内有唯一解【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题第22页（共22页）
