1、2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1（5分）若集合A=x|5x2，B=x|3x3，则AB=（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x32（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A（x1）2+（y1）2=1B（x+1）2+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=23（5分）下列函数中为偶函数的是（）Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x4（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）
2、类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90B100C180D3005（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A3B4C5D66（5分）设，是非零向量，“=|”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1BCD28（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，
3、该车每100千米平均耗油量为 （）A6升B8升C10升D12升二、填空题9（5分）复数i（1+i）的实部为 10（5分）23，log25三个数中最大数的是 11（5分）在ABC中，a=3，b=，A=，则B= 12（5分）已知（2，0）是双曲线x2=1（b0）的一个焦点，则b= 13（5分）如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 14（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生
4、是 ；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共80分）15（13分）已知函数f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间0，上的最小值16（13分）已知等差数列an满足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？17（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买 甲乙丙丁10021720030085 98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客
5、在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18（14分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积19（13分）设函数f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点20（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线A
6、E与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1（5分）若集合A=x|5x2，B=x|3x3，则AB=（）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可【解答】解：集合A=x|5x2，B=x|3x3，则AB=x|3x2故选：A【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力2（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（）A（x1）2+（y1）2=1B（x+1）2
7、+（y+1）2=1C（x+1）2+（y+1）2=2D（x1）2+（y1）2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程【解答】解：由题意知圆半径r=，圆的方程为（x1）2+（y1）2=2故选：D【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题3（5分）下列函数中为偶函数的是（）Ay=x2sinxBy=x2cosxCy=|lnx|Dy=2x【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断x与x的函数值关系，相等的就是偶函数【解答】解：对于A，（x）2sin（x）=x2sinx；是奇函数；对于B，（x）2cos（x）=x2cosx；是偶函数；对于C
8、，定义域为（0，+），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2（x）=2x2x，2x2x；是非奇非偶的函数；故选：B【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（x）与f（x） 关系，相等是偶函数，相反是奇函数4（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90B100C180D300【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：1
9、6，即可得出结论【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础5（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A3B4C5D6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a，退出循环，输出k的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a，a=，k=2不满足条件a，a=，k=3不满足条件a，a=，k=4满足条件a，退出循环，输出k的值为4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属
10、于基础题6（5分）设，是非零向量，“=|”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为0，从而得到，而并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项【解答】解：（1）；时，cos=1；“”是“”的充分条件；（2）时，的夹角为0或；，或；即得不到；“”不是“”的必要条件；总上可得“”是“”的充分不必要条件故选：A【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义7（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A1
11、BCD2【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB平面ABCD，底面ABCD为正方形PB=1，AB=1，AD=1，BD=，PD=PC该几何体最长棱的棱长为：故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计
12、里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （）A6升B8升C10升D12升【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量486=8；故选：B【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力二、填空题9（5分）复数i（1+i）的实部为1【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可【解答】解：复数i（1+i）=1+i，所求复数的实部为：1故答案为：1【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算
13、能力10（5分）23，log25三个数中最大数的是log25【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0231，12，log25log24=2，即可得到最大数【解答】解：由于0231，12，log25log24=2，则三个数中最大的数为log25故答案为：log25【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题11（5分）在ABC中，a=3，b=，A=，则B=【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB=，由ba，则BA，可得B=故答案为：【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角
14、关系，属于基础题12（5分）已知（2，0）是双曲线x2=1（b0）的一个焦点，则b=【分析】求得双曲线x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），可得b的方程，即可得到b的值【解答】解：双曲线x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），由题意可得=2，解得b=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题13（5分）如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为7【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的
15、截距最大，此时z最大即A（2，1）此时z的最大值为z=22+31=7，故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法14（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，
16、反之小于【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学【点评】本题考查了对散点图
17、的认识；属于基础题三、解答题（共80分）15（13分）已知函数f（x）=sinx2sin2（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间0，上的最小值【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由x0，可求范围x+，即可求得f（x）的取值范围，即可得解【解答】解：（1）f（x）=sinx2sin2=sinx2=sinx+cosx=2sin（x+）f（x）的最小正周期T=2；（2）x0，x+，sin（x+）0，1，即有：f（x）=2sin（x+），2，可解得f（x）在区间0，上的最小值为：【点评】本题主要考查了三角
18、函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查16（13分）已知等差数列an满足a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？【分析】（I）由a4a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列an的公差为da4a3=2，所以d=2a1+a2=10，所以2a1+d=10a1=4，an=4+2（
19、n1）=2n+2（n=1，2，）（II）设等比数列bn的公比为q，b2=a3=8，b3=a7=16，q=2，b1=4=128，而128=2n+2n=63b6与数列an中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易17（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买 甲乙丙丁10021720030085 98（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙
20、、丁中哪种商品的可能性最大？【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中
21、同时购买3种商品的概率为=0.3（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题18（14分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB（3）求三棱锥VABC的体积【分析】（1）利用三角形的中位线得出OMVB，利用线面平行的判定定理证明VB平面MOC；（2）证明：OC平面VAB，即可证明平
22、面MOC平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥VABC的体积【解答】（1）证明：O，M分别为AB，VA的中点，OMVB，VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC；（2）AC=BC，O为AB的中点，OCAB，平面VAB平面ABC，OC平面ABC，OC平面VAB，OC平面MOC，平面MOC平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面VAB，VCVAB=SVAB=，VVABC=VCVAB=【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键19（13分）设函数f（x）=kln
23、x，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点【分析】（1）利用f（x）0或f（x）0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况【解答】解：（1）由f（x）=f（x）=x由f（x）=0解得x=f（x）与f（x）在区间（0，+）上的情况如下：X （0，） （） f（x） 0+ f（x） 所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为f（）=因为f（x）存在零点，所以
24、，从而ke当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点当ke时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型20（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由【
25、分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可【解答】解：（1）椭圆C：x2+3y2=3，椭圆C的标准方程为：+y2=1，a=，b=1，c=，椭圆C的离心率e=；（2）AB过点D（1，0）且垂直于x轴，可设A（1，y1），B（1，y1），E（2，1），直线AE的方程为：y1=（1y1）（x2），令x=3，得M（3，2y1），直线BM的斜率kBM=1；（3）结论：直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，又直线DE的斜率kDE=1，BMDE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x1）（k1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y1=（x2），令x=3，则点M（3，），直线BM的斜率kBM=，联立，得（1+3k2）x26k2x+3k23=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，kBM1=0，kBM=1=kDE，即BMDE；综上所述，直线BM与直线DE平行【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题第22页（共22页）
