1、绝密本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=x|1x1，则AB=（A）（1，1）（B）（1，2）（C）（1，+）（D）（1，+）（2）已知复数z=2+i，则（A）（B）（C）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）（B）y=（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出的s
2、值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知双曲线（a0）的离心率是，则a=（A）（B）4（C）2（D）（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（k=1,2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1（C）lg10.1 （D）（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，
3、是锐角，大小为.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4+4cos（B）4+4sin（C）2+2cos（D）2+2sin第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量=（4，3），=（6，m），且，则m=_（10）若x，y满足 则的最小值为_，最大值为_（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_（13）已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l以其中的两个论断作为条件，余下的一
4、个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中，a=3，cosB=（）求b，c的值；（）
5、求sin（B+C）的值（16）（本小题13分）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值（17）（本小题12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（）估计该校学生中上个月A
6、，B两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元结合（）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由（18）（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由（19）（本小题14分）已知椭圆的右焦点为，且经过点
7、（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点（20）（本小题14分）已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）D（6）C（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）8（10）3
8、 1（11）（12）40（13）若，则（答案不唯一）（14）130 15三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由余弦定理，得因为，所以解得所以（）由得由正弦定理得在中，所以（16）（共13分）解：（）设的公差为因为，所以因为成等比数列，所以所以解得所以（）由（）知，所以，当时，；当时，所以，的最小值为（17）（共12分）解：（）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为（）记事件C
9、为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则（）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，=0.04答案示例1：可以认为有变化理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法确定有没有变化（18）（共14分）解：（）因为平面ABCD，所
10、以又因为底面ABCD为菱形，所以所以平面PAC（）因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点，所以AECD所以ABAE所以AE平面PAB所以平面PAB平面PAE（）棱PB上存在点F，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG则FGAB，且FG=AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=AB所以FGCE，且FG=CE所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE（19）（共14分）解：（I）由题意得，b2=1，c=1所以a2=b2+c2=2所以椭圆C的方程为（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为令y=0，得点M的横坐标又，从而同理，由得则，所以又，所以解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）（20）（共14分）解：（）由得令，即，得或又，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与（）令由得令得或的情况如下：所以的最小值为，最大值为故，即（）由（）知，当时，；当时，；当时，综上，当最小时，
