1、绝密启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1 函数的最小正周期是.
2、2. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=_.3. 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.4. 设若，则的取值范围为_.5. 若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为_.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列的公比为q，若，则q= .9. 若，则满足的取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）.11. 已知
3、互异的复数a,b满足ab0，集合a,b=,则= .12. 设常数a使方程在闭区间0,2上恰有三个解，则 . 13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为 .14. 已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设,则“”是“”的（ ）（A） 充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，
4、AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）（A）1 (B)2 (C)4 (D)817. 已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）（A） 无论k，如何，总是无解 （B)无论k，如何，总有唯一解 （C）存在k，使之恰有两解 （D）存在k，使之有无穷多解18. 若是的最小值，则的取值范围为（ ）. (A)-1,2 (B)-1，0 (C)1，2 (D) 三解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面学科网展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积. zxxk20. （本题满分14分
5、）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。设常数，函数（1） 若=4，求函数的反函数；（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.（1） 设计中是铅垂方向，若要求zxxk，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在学科网实测得求的长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题
6、满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. 求证：点被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.23. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.（1） 若，求的取值范围；（2） 若是公比为等比数列，zxxk求的取值范围；（3） 若成等差数列，且，学科网求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.上海数学
7、（理）参考答案一、1. 2. 6 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.-1 12. 13. 14. 二、15.B 16.A 17.B 18.D 19.解：由题得，三棱锥是正三棱锥侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形由题得，又三点恰好在构成的的三条边上，三棱锥是边长为2的正四面体如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于为中点，为的重心，底面，20. 解：（1）由题得，（2） 且当时，对任意的都有，为偶函数当时，对任意的且都有，为奇函数当且时，定义域为，定义域不关于原定对称，为非奇非偶函数21. 解：（1）由题得，且，即，解得，米（2） 由题得，米，米
8、22. 证明：（1）由题得，被直线分隔。解：（2）由题得，直线与曲线无交点即无解或，证明：（理科）（3）由题得，设，化简得，点的轨迹方程为。当过原点的直线斜率存在时，设方程为。联立方程，。令，显然是开口朝上的二次函数由二次函数与幂函数的图像可得，必定有解，不符合题意，舍去当过原点的直线斜率不存在时，其方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。，符合题意综上所述，仅存在一条直线是的分割线。证明：（文科）（3）由题得，设，化简得，点的轨迹方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。，符合题意。是的分割线。23. 解：（1）由题得，（理科）（2）由题得，且数列是等比数列，。又，当时，对恒成立，满足
9、题意。当时，当时，由单调性可得，解得，当时，由单调性可得，解得，（理科）（3）由题得，且数列成等差数列，又，解得，的最大值为1999，此时公差为2014年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应
10、在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. （2014）函数的最小正周期是 .【解析】：原式，2. （2014）若复数，其中是虚数单位，则 .【解析】：原式3. （2014）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程4. （2014）设 若，则的取值范围为 .【解析】：根据题意，5. （2014）若实数满足，则的最小值为 .【解析】：6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】：设圆锥母线长为，底面圆半径为，即，即母线与底面夹
11、角大小为7. （2014）已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是 .【解析】：曲线的直角坐标方程为，与轴的交点为，到原点距离为8. （2014）设无穷等比数列的公比为，若，则 .【解析】：，9. （2014）若，则满足的的取值范围是 .【解析】：，结合幂函数图像，如下图，可得的取值范围是10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则 选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】：11. （2014）已知互异的复数满足，集合，则 .【解析】：第一种情况：，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：，即；12. （2014）设常数
12、使方程在闭区间上恰有三个解，则 .【解析】：化简得，根据下图，当且仅当时，恰有三个交点，即13. （2014）某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分. 若，则小白得分的概率至少为 .【解析】：设得分的概率为，且，与前式相减得：，即14. （2014）已知曲线，直线. 若对于点，存在上的点和 上的使得，则的取值范围为 .【解析】：根据题意，是中点，即，二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. （2014）设，则“”是“且”的（ ）(A) 充分条件.(B) 必要条件.(C) 充分
13、必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.【解析】：B16. （2014）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为 （ ）(A) .(B) .(C) .(D) .【解析】：根据向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，为定值，选A17. （2014）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于 和的方程组的解的情况是 （ ）(A) 无论如何，总是无解.(B) 无论如何，总有唯一解.(C) 存在，使之恰有两解.(D) 存在，使之有无穷多解.【解析】：由已知条件，有唯一解，选B18. （2014）设 若是
14、的最小值，则的取值范围为（ ）(A) .(B) .(C) .(D) .【解析】：先分析的情况，是一个对称轴为的二次函数，当时，不符合题意，排除AB选项；当时，根据图像，即符合题意，排除C选项；选D；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （2014）(本题满分12分)底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积.【解析】：根据题意可得共线， ， ，同理， 是等边三角形，是正四面体，所以边长为4； 20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常
15、数，函数.(1) 若，求函数的反函数；(2) 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）， ， （2）若为偶函数，则， 整理得，此时为偶函数 若为奇函数，则， 整理得，此时为奇函数 当时，此时既非奇函数也非偶函数21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米. 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和. (1) 设计中是铅垂方向. 若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？(2) 施工完成后，与铅垂方向有偏差现在实测得，求的长（结果精确到米）.【解析】：（1）
16、设的长为米，则， ， 解得，的长至多为米 （2）设， 则，解得， ，的长为米22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.(1) 求证：点被直线分割；(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.【解析】：（1）将分别代入，得 点被直线分割 （2）联立，得，依题意，方程无解
17、， ，或 （3）设，则，曲线的方程为 当斜率不存在时，直线，显然与方程联立无解，又为上两点，且代入，有，是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，令，则，当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点当时，即在之间存在实根，与曲线有公共点直线与曲线始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分. 已知数列满足，. (1) 若，求的取值范围；(2) 设是公比为的等比数列，. 若， 求的取值范围；(3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及 取最大值时相应数列的公差.【解析】：（1）依题意，又， 综上可得； （2）由已知得，又， 当时，即，成立 当时，即， ，此不等式即， ， 对于不等式，令，得，解得， 又当时，成立，当时，即，即，时，不等式恒成立综上，的取值范围为（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，则由已知得，当时，不等式即，时，解得，的最大值为，此时公差
