1、2021年重庆市中考数学真题（B卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1. 3的相反数是（）A3BC3D【考点】相反数【答案】C【分析】根据相反数的定义，即可解答【解答】解：3的相反数是3，故选：C2不等式x5的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【考点】在数轴上表示不等式的解集【专题】数与式；数感【答案】A【分析】明确x5在数轴上表示5的右边的部分即可【解答】解：不等式x5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括5，故选：A3计算x4x结果正确的是
2、（）Ax4Bx3Cx2Dx【考点】同底数幂的除法【专题】整式；运算能力【答案】B【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【解答】解：原式x41x3，故选：B4如图，在平面直角坐标系中，将OAB以原点O为位似中心放大后得到OCD，若B（0，1），D（0，3），则OAB与OCD的相似比是（）A2：1B1：2C3：1D1：3【考点】坐标与图形性质；位似变换【专题】图形的相似；应用意识【答案】D【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即可【解答】解：B（0，1），D（0，3），OB1，OD3，OAB以原点O为位似中心放大后得到OCD，OAB与OCD的相似比是OB：OD1：3，故选：D5如图，AB是O的直径
3、，AC，BC是O的弦，若A20，则B的度数为（）A70B90C40D60【考点】圆周角定理【专题】圆的有关概念及性质；应用意识【答案】A【分析】根据直径所对的圆周角为90，即可求解【解答】解：AB是O的直径，C90，A20，B90A70，故选：A6下列计算中，正确的是（）A5221B2+2C3D3【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式；运算能力【答案】C【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可【解答】解：A523，此选项计算错误；B2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C3，此选项计算正确；D，此选项计算错误；故选：C7小明从家出
4、发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系下列描述错误的是（）A小明家距图书馆3kmB小明在图书馆阅读时间为2hC小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4hD小明去图书馆的速度比回家时的速度快【考点】函数的图象【专题】一次函数及其应用；推理能力【答案】D【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中是说法是否正确【解答】解：由图象知：A小明家距图书馆3km，正确；B小明在图书馆阅读时间为312小时，正确；C小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，正确；D因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以
5、小明去图书馆的速度比回家时的速度快，错误，符合题意故选：D8如图，在ABC和DCB中，ACBDBC，添加一个条件，不能证明ABC和DCB全等的是（）AABCDCBBABDCCACDBDAD【考点】全等三角形的判定【专题】三角形；图形的全等；应用意识【答案】B【分析】根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一验证选项即可【解答】解：在ABC和DCB中，ACBDBC，BCBC，A：当ABCDCB时，ABCDCB（ASA），故A能证明；B：当ABDC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；C：当ACDB时，ABCDCB（SAS），故C能证明；D：当AD时，ABCDCB（AAS），故D
6、能证明；故选：B9如图，把含30的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，PMN30，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则AMP的度数为（）A60B65C75D80【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OMOP，从而得出DPM150，利用四边形内角和定理即可求得【解答】解：在RtPMN中，MPN90，O为MN的中点，OP，PMN30，MPO30，DPM150，在四边形ADPM中，A90，ADB45，DPM150，
7、AMP360AADBDPM360904515075故选：C10如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50，则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin500.77；cos500.64；tan501.19）A69.2米B73.1米C80.0米D85.7米【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】解直角三角形及其应用；推理能力【答案】D【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i1：2.4，求出CE的
8、长，从而得出BE，再利用tan50即可求出AB的长【解答】解：斜坡CD的坡度（或坡比）为i1：2.4，DE：CE5：12，DE50米，CE120米，BC150米，BE15012030米，ABtan5030+5085.7米故选：D11关于x的分式方程+1的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A5B4C3D2【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；应用意识【答案】B【分析】由关于y的一元一次不等式组有解得到a的取值范围，再由关于x的分式方程+1的解为正数得到a的取值范围，将所
9、得的两个不等式组成不等式组，确定a的整数解，结论可求【解答】解：关于x的分式方程+1的解为x关于x的分式方程+1的解为正数，a+40a4关于x的分式方程+1有可能产生增根2，a1解关于y的一元一次不等式组得：关于y的一元一次不等式组有解，a20a2综上，4a2且a1a为整数，a3或2或0或1满足条件的整数a的值之和是：32+0+14故选：B12如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y（k0，x0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF若点E为AC的中点，AEF的面积为1，则k的值为（）ABC2D3【考点】反比例函数系数k的
10、几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质【专题】反比例函数及其应用；推理能力【答案】D【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由SAEF1，转化为SACF2，列出等式即可求得【解答】解：设A（a，0），矩形ABCD，D（a，），矩形ABCD，E为AC的中点，则E也为BD的中点，点B在x轴上，E的纵坐标为，E为AC的中点，点C（3a，），点F（3a，），AEF的面积为1，AEEC，SACF2，解得：k3故选：D二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的
11、横线上13计算：（1）0【考点】实数的运算；零指数幂【专题】实数；运算能力【答案】2【分析】利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算【解答】解：原式312故答案为：214不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前后两次摸出的球都是白球的概率是【考点】列表法与树状图法【专题】概率及其应用；数据分析观念【答案】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可【解答】解：列表如下黑白白黑（黑，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白
12、，白）（白，白）由表可知，共有9种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有4种结果，所以前后两次摸出的球都是白球的概率为，故答案为：15方程2（x3）6的解是【考点】解一元一次方程【专题】一次方程（组）及应用；运算能力【答案】x6【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可【解答】解：方程两边同除以2得：x33移项，合并同类项得：x6故答案为：x616如图，在菱形ABCD中，对角线AC12，BD16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（结果保留）【考点】菱形的性质；扇形面积的计算【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算
13、能力；应用意识【答案】96100【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC12，BD16ABC+BCD+CDA+DAB360四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆图中阴影部分的面积121610296100故答案为：9610017如图，ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将ADC沿直线AD翻折至ABC所在平面内，得ADC，连接CC，分别与边AB交于点E，与AD交于点O若AEBE，BC2，则AD的长为【考点】翻折变换（折叠问题）【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识【答案】3【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以
14、得到OD的长，然后根据全等三角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长【解答】解：由题意可得，DCAQDCA，OCOC，CODCOD90，点O为CC的中点，点D为BC的中点，OD是BCC的中位线，ODBC，ODBC，CODECB90，AEBE，BC2，OD1，在ECB和EOA中，ECBEOA（AAS），BCAO，AO2，ADAO+OD2+13，故答案为：318盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你
15、音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元【考点】三元一次方程组的应用【专题】一次方程（组）及应用；应用意识【答案】155【分析】根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可【解答】解：蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音
16、箱；B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共2223113210（个），B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，B盒中有多接口优盘105（个），蓝牙耳机有53（个），迷你音箱有10532（个），设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为a元，b元，c元，由题知：，2得：a+b45，23得：b+c55，C盒的成本为：a+3b+2c（a+b）+（2b+2c）45+552155（元），故答案为：155三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写
17、在答题卡中对应的位置上.19计算：（1）a（2a+3b）+（ab）2；（2）（x+）【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算【专题】整式；分式；运算能力【答案】（1）3a2+ab+b2；（2）【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；（2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可【解答】解：（1）原式2a2+3ab+a22ab+b23a2+ab+b2；（2）原式（+）20. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，
18、统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10七八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数a9众数8b优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a，b；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异【考点】用样本估计总体；中位数；众数【专题】数据的收集与整理；应用意识【答案】（1）8；9
19、（2）102人；（3）八年级教师更加优异【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解（3）根据优秀率进行评价即可【解答】解：（1）七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10中位数a8根据扇形统计图可知D类是最多的，故b9故答案为：8；9（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数102（人）（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%故八年级的教师学习党史的竞赛成绩谁更优异21如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC2AB请用
20、尺规完成基本作图：作出BAC的角平分线与BC交于点E连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【考点】平行四边形的性质；作图基本作图【专题】多边形与平行四边形；推理能力；应用意识【答案】图见解答过程；猜想：DF3BF证明过程见解答【分析】根据题意作出图即可；【解答】解：如图：猜想：DF3BF证明：四边形ABCD为平行四边形OAOC，ODOBAC2ABAOABBAC的角平分线与BC交于点EBFFODF3BF22探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程以下是我们研究函数yx
21、+|2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题x21012345y654a21b7（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m，a，b；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数y的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|2x+6|+m的解集【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】数形结合；应用意识【答案】（1）2，3，4；（2）图象见解答过程，当x3时函数有最小值y1（答案不唯一）；（3）x0或x4【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x1求a值，代入x4求b值即
22、可；（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可；（3）根据图像求出即可【解答】解：（1）当x0时，|6|+m4，解得：m2，即函数解析式为：yx+|2x+6|2，当x1时，a1+|2+6|23，当x4时，b4+|24+6|24，故答案为：2，3，4；（2）图象如右图，根据图象可知当x3时函数有最小值y1；（3）根据当yx+|2x+6|2的函数图象在函数y的图象上方时，不等式x+|2x+6|2成立，x0或x423重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）已知3份“
23、堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%求a的值【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用【专题】一元二次方程及应用；运算能力【答案】（1）每份“堂食”小面的价格为7元，每
24、份“生食”小面的价格为5元；（2）a8【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；（2）根据5月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额4月的总销售额（1+a%），用换元法解方程可得结论【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根据题意得：，解得：，答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；（2）由题意得：45007+2500（1+a%）5（1a%）（45007+25005）
25、（1+a%），设a%m，则方程可化为：97+25（1+m）（1m）（97+25）（1+m），375m230m0，m（25m2）0，解得：m10（舍），m2，a824对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m3507，因为3+72（5+0），所以3507是“共生数”；m4135，因为4+52（1+3），所以4135不是“共生数”（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）求满足F（n
26、）各数位上的数字之和是偶数的所有n【考点】列代数式；因式分解的应用【专题】新定义；运算能力【答案】（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”；（2）2148或3069【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，6437是否为“共生数”；（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可【解答】解：（1）5+32（3+1），5313是”共生数“，6+72（3+4），6437不是“共生数”；（2）n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1a4），设n的百位上的数字为b，个位和百位
27、都是09的数字，个位上的数字为9b，且9bb，0b4n1000a+100b+20a+9b；F（n）340a+33b+3，由于n是“共生数”，a+9b2（2a+b），即a+b3，可能的情况有：，n的值为1227或2148或3069，各位数和为偶数的有2148和3069，n的值是2148或306925如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx4（a0）与x轴交于点A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求PAD面积的最大值（3）在（2）的条件下，将抛物线yax
28、2+bx4（a0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程【考点】二次函数综合题【专题】二次函数图象及其性质；应用意识【答案】（1）yx23x4；（2）8；（3）G（）或G（）或G（）【分析】（1）直角代入点A，B坐标即可；（2）作PEy轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出APD的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而
29、平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可【解答】解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入yax2+bx4得，yx23x4，（2）当x0时，y4，点C（0，4），点D与点C关于直线l对称，D（3，4），A（1，0），直线AD的函数关系式为：yx1，设P（m，m23m4），作PEy轴交直线AD于E，E（m，m1），PEm1（m23m4）m2+2m+3，SAPD2（m2+2m+3）2m2+4m+6，当m1时，SAPD最大为8，（3）直线AD与x轴正方向夹角为45，沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，P（1，6），E（5，10），抛
30、物线yx23x4平移后y1x211x+20，抛物线y1的对称轴为：直线x，当DE为平行四边形的边时：若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，代入y1x211x+20得y，若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，代入y1x211x+20得y，若DE为平行四边形的对角线时，若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，G的横坐标为，代入y1x211x+20得y，G（）或G（）或G（），四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26在等边ABC中，AB6，BDAC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为
31、直线BD上一点，连接EF（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60得到线段EG，连接FG如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BHBF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出DPN的面积【考点】几何变换综合题【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识【答案】（1）；证明见解答过程；（2）【分析】（1）
32、过D作DHGC于H，先证明BGF是等边三角形，求出CD长度，再证明BFCFGF，从而在RtBDC中，求出CF2，即得GF，在RtCDH中，求出DHCDsin30和CHCDcos30，可得GHGF+FH，RtGHD中，即可得到DG；过E作EPAB交BD于P，过H作MHBC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，由ABC+EFH180，得B、E、F、H共圆，可得FBHFEH，从而可证HFGF，由E、P、F、G共圆可得BMHGPF60，故GFPHFM，PFFM，可得NFMH，BFMH+EP，在RtBEP中，EPBEtan30BE，RtMHB中，MHBHtan30BH，即可得到BE+BHBF；（
33、2）以M为顶点，MP为一边，作PML30，ML交BD于G，过P作PHML于H，设MP交BD于K，RtPMH中，HPMP，NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，而将线段EF绕点E顺时针旋转60得到线段EP，可得QKPFEP60，从而可证MLAC，四边形GHND是矩形，由DN2NC，得DNGH2，由等边ABC中，AB6，点E为AB中点时，点M为BE中点，可得BM，BDABsinA3，RtBGM中，MGBM，BGBMcos30，可求MHMG+GH，GDBDBG，RtMHP中，可得HP，从而可得PNHNHPGDHP，故SDPNPNDN【解答】解：（1）过D作DHGC于H，如图：线段EF
34、绕点E逆时针旋转60得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，BGBF，FBG60，BGF是等边三角形，BFGDFC60，BFGF，等边ABC，AB6，BDAC，DCF180BDCDFC30，DBCABC30，CDACAB3，BCGACBDCF30，BCGDBC，BFCF，GFCF，RtBDC中，CF2，GF2，RtCDH中，DHCDsin30，CHCDcos30，FHCFCH，GHGF+FH，RtGHD中，DG；过E作EPAB交BD于P，过H作MHBC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：EF绕点E逆时针旋转60得到线段EG，EGF是等边三角形，EFGEGFGEF60
35、，EFH120，EFGF，ABC是等边三角形，ABC60，ABC+EFH180，B、E、F、H共圆，FBHFEH，而ABC是等边三角形，BDAC，DBCABD30，即FBH30，FEH30，FHE180EFHFEH30，EFHFGF，EPAB，ABD30，EPB60，EPF120，EPF+EGF180，E、P、F、G共圆，GPFGEF60，MHBC，DBC30，BMH60，BMHGPF，而GFPHFM，由得GFPHFM（AAS），PFFM，EPAB，BP中点N，ABD30，EPBPBNNP，PF+NPFM+BN，NFBM，RtMHB中，MHBM，NFMH，NF+BNMH+EP，即BFMH+EP
36、，RtBEP中，EPBEtan30BE，RtMHB中，MHBHtan30BH，BFBE+BH，BE+BHBF；（2）以M为顶点，MP为一边，作PML30，ML交BD于G，过P作PHML于H，设MP交BD于K，如图：RtPMH中，HPMP，NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，将线段EF绕点E顺时针旋转60得到线段EP，F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，FEP60，则F、P轨迹的夹角QKPFEP60，BKM60，ABD30，BMK90，PML30，BML60，BMLA，MLAC，HNA180PHM90，而BDAC，BDCHNAPHM90，四边形GHND是矩形，DNGH，边ABC中，AB6，BDAC，CD3，又DN2NC，DNGH2，等边ABC中，AB6，点E为AB中点时，点M为BE中点，BM，BDABsinA6sin603，RtBGM中，MGBM，BGBMcos30，MHMG+GH，GDBDBG，RtMHP中，HPMHtan30，PNHNHPGDHP，SDPNPNDN
