1、教 案教学基本信息课题一次函数的应用（第四课时）学科数学学段： 第三学段年级8年级教材书名：义务教育教科书 数学 出版社：北京出版社 出版日期： 年 月教学设计参与人员姓名单位设计者陶卉北京市牛栏山一中实验学校实施者陶卉北京市牛栏山一中实验学校指导者穆怀茹北京市顺义区教育考试研究中心课件制作者陶卉北京市牛栏山一中实验学校其他参与者潘春节北京市牛栏山一中实验学校霍小宁北京市牛栏山一中实验学校教学目标及教学重点、难点1. 会运用一次函数的知识解决与一次函数有关的三角形面积问题.2. 通过线段长与点坐标之间的相互转化，明确三角形中的底和高，进一步增强数形结合的能力.3. 通过寻求解决问题的策略,获得
2、成功的体验,树立学习掌握函数知识的自信心.重点：解决与一次函数有关的三角形面积问题难点：线段长与点坐标之间的相互转化，明确三角形中的底和高教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入一、平面直角坐标系内的三角形面积问题1 如果把一个ABC放入平面直角坐标系中，可能会有几种状态？我们将所有可能情况归为以下三类：（1）ABC的一边在坐标轴上.如图所示，点C则可能在其他任意位置. （2）ABC的一边与坐标轴平行. （3）ABC的任意一边不在坐标轴上且不与坐标轴平行.对于平面直角坐标系内的三角形进行分类讨论，并整理分类标准强调分类讨论的使用新授问题2 计算三角形的面积.（1）三角形的一边在坐标
3、轴上.如图一，三角形的AB边在x轴上，假设我们随机给出三点坐标分别是A（-2,0），B（4,0），C（2,5），你能够最先计算出来的是哪条边的长度？必然是AB边呀.因为AB边在x轴上，所以两点的纵坐标相同均为0，线段AB的长度则是这两点间的横向距离，用两点的横坐标作差即可得到AB=4-(-2)=6.当然，大家都明白这里提到的差，都是用大数减小数得到的. 此时点D坐标(2,0)，高则是点C到x轴的距离为5.得到.若只改变点A的位置，放于原点处，同学们一定可以第一时间说出AB的距离为4，而由于点C位置不变，所以点D 的坐标和三角形的高也不变.故而求得图二点A（0，4），B（0，1），C坐标为（3，
4、5），此时AB的长是AB两点的纵向距离，即点A与点B的纵坐标之差.底边AB=4-1=3点D坐标（0，5），高则是点C到y轴的距离CD=3， .（2）ABC的一边与坐标轴平行.其实，这一类与第一类是相同的计算方法，因为AB边是与坐标轴平行的，所以并不影响三角形底边的表示，只是在处理三角形的高时略有不同，但实质仍然是点到直线的距离.图一已知 A（-6，-2），B（-1，-2），C（-4，-5），AB长是AB两点的横向距离，底边AB=-1-（-6）=5，点D坐标（-4，-2），高则是点C到AB边的距离CD=3，所以 .图二在这个图形里用字母代替了点A横坐标的具体数值，考验一下大家的反应速度.点A（m
5、，2），B（m，-4），C（-5，-2），底边AB=2-（-4）=6，那么点D的坐标你会表示吗？点D（m，-2），高是点C到AB边的距离CD=m-（-5）=m+5，则.利用函数的知识，结合点的坐标特点，确定三角形的底和高，计算面积新授（3）ABC的任意一边不在坐标轴上且不与坐标轴平行.这一类，完全不同于前面两类，但是，我们确实可以借鉴前面的经验.换句话说，我们可以把这样一个看似毫无特质可言的三角形通过割补的方法，使其达到我们想要的效果.下面，我们先研究一种简单的方法，就是将ABC补成直角梯形ADEC.(构造一条过点B且平行于x轴的直线，分别由点A和点C向这条平行线作垂线，垂足为点D和点E.)此
6、时，就可以借鉴第二类的解法，AD、DE、EC均与坐标轴平行，所以.(ABC的面积就等于梯形ADEC的面积减去ABD的面积和BCE的面积.)接下来，如果给出A、B、C三点的具体坐标，就可以计算ABC的面积了.利用割补法，解决平面直角坐标系内的“不规则”三角形面积新授如何计算坐标系内的三角形面积？首先要观察三角形各个顶点坐标的特点.其次，明确三角形的底和高.为了方便计算尽量选用与坐标轴关系较紧密的边做底.如果没有符合要求的底和高，就尽可能构造容易计算出面积的特殊图形，来辅助计算.归纳总结平面内计算三角形的计算方法，选取方便计算的线段长.新授二、一条直线与坐标轴围成的三角形面积例1 直线y=-5x+
7、2与x轴交点坐标是（，0），与y轴交点坐标是（0，2），直线与两坐标轴围成三角形的面积是（）. 分析：一次函数图象通常与两坐标轴围成直角三角形，找到直线与两坐标轴的交点坐标，即可得出直角三角形的两条直角边，从而三角形面积可解.这是已知直线求面积，那么反过来已知面积求直线，需要的条件还能一样吗？例2 直线AB与y轴交于点B（0，-2），点A在第一象限的角平分线上，且，求直线AB的表达式. 先在坐标系中标出点B（0，-2）的位置，则有OB=2，点A在第一象限的角平分线上，底为OB，高为点A到y轴的距离即a.至此，可以转换为，解得a=2，点A坐标为（2，2），再用待定系数法可以求解直线AB的表达式为
8、y=2x-2. 例3 一次函数图象与y轴交点的纵坐标为-3，且与坐标轴围成的三角形面积为3，求其表达式，并画出图象.分析：还是已知面积求直线.已知一次函数图象与y轴交点的纵坐标为-3，设该交点为点B（0，-3），则有OB=3.下面，我们还需要找到直线上的另外一点，用点的坐标计算三角形的底和高，进而表示出三角形的面积.既然是直线与坐标轴围成的三角形，不妨设直线与x轴的交点为点A（a，0），则有OA=|a|.在例2中的点A是在第一象限内，所以a0，可以直接来表示距离，但这个问题中的点A位置是不确定的，所以不能直接用a来表示距离，需要添加上绝对值,保证它的绝对安全.如此，就可以转换为即，解得.再利用
9、待定系数法解出一次函数的表达式为.由于点A的位置不确定，所以结果会得到正半轴有交点，和负半轴有交点两种情况.由直线表达式求交点坐标，再计算线段长通过变式练习，增强审题能力以及对一次函数有关的三角形面积计算的理解。已知面积求直线，借助点的坐标，表示线段长，利用面积待定系数求直线点的位置不确定，故而进行分类讨论，得出多种结果，多条直线变式巩固，只给出距离求直线的时候，常出现多角度分类辨析的可能。新授三、两条直线与坐标轴围成的三角形面积例4 直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C.（1）求k的值.（2）求ABC的面积.分析：两条直线与坐标轴围成三角形，
10、这两条直线分别是三角形的两边所在直线，另外只需一个坐标轴参与计算就可以了.计算这个三角形的面积，仍然需要直线与坐标轴的交点，还有更重要的一个点，就是两条直线的交点.（1）直接把点A坐标代入直线y=kx-6，解得.（2）求ABC的面积，点A点B均在x轴上，则ABC可以AB为底，以点C到x轴的距离为高.由题知,点A坐标(4，0)，点B坐标(1，0)，则AB=3.点C坐标，可以将两个直线方程联立解得.点C坐标（2，-3），.ABC三边均没有坐标轴的参与，而且ABC被x轴分割成的两部分，不完全是规则图形，仍然不便于计算面积.倘若还想继续下去的话，就得借助坐标轴把三角形进行分割.我们可以选用平行于坐标轴的直线，直接将ABC进行分割.如图所示，这种情况下，要先确定直线BC的表达式，再找出点D的坐标. 此时，.再或者，先找到三角形三条边所在的直线与坐标轴的交点如图所示.此时，两条直线与坐标轴围成三角形，需联立直线方程，求两直线的交点位置和坐标均不特殊，需要通过坐标轴或者平行于坐标轴的直线将其分割成规则特殊的三角形计算小结将知识以及研究问题的方法结构化，提高整体认识。作业巩固练习巩固练习
