1、久期和凸度专题,本讲内容与教材对应说明5.1久期5.1.1 久期概述5.1.2 几种常见债券的久期5.1.3 久期的计算方法5.1.4 久期的性质及应用5.1.5 资产组合的久期5.1.6 风险免疫5.2凸度,5.1久期,5.1.1久期概述1）久期概念久期（Duration），也叫持续期。它反映债券的平均到期期限，它也是债券所有现金流量发生时间的加权平均值。久期衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间,5.1久期,5.1.1久期概述2）久期表达式一般意义上的最基本的久期是指麦考莱久期，由美国人F.R.Macaulay于1938年提出来的，下面是对麦考莱久期表达式的一个推导过程,5.1
2、久期,债券价格的计算运用现金流贴现方法，可以得出债券价格的计算公式，债券价格是债券到期之前所有现金流量的现值总和。如果我们假设债券每年付息一次，则：（5-1）其中，P表示债券的价格，CFt表示第t次现金流（cash flow），r表示贴现率（一般为市场利率），n表示剩余期限，F表示面值,5.1久期,权重的概念久期计算需要用每期的现金流量现值做权重。权重Wt表示某一时刻现金流量的现值与债券价格（所有现金流量现值总和）之比（5-2）久期的一般表达式由上所述，可得久期的一般表达式为：=1=1()=1(1+)（5-3）,5.1久期,公式（5-1）求导变形可得,5.1久期,5.1久期,3）修正（Modi
3、fied）久期修正久期的定义为那么，P=D修Pr即有：或,5.1久期,4）久期与债券价格变化的关系债券收益率的变动引起债券价格的变化，而且收益率与价格的变动方向相反，即收益率上升，债券的价格下降；反之，收益率下降，债券的价格上升。债券价格的变动率与麦考莱久期或修正久期成正比，即麦考莱久期和修正久期对价格相对于收益率的变化具有杠杆作用债券的价格和修正久期的乘积是价格收益率曲线切线的斜率，因此在收益率变动大小确定的情况下，债券价格变化大小与债券的价格和修正久期的乘积成正比,5.1久期,5.1.2几种常见债券的久期1）零息债券零息债券的现金流只有一个，即债券到期的面值支付。所以债券价格和久期公式可表
4、示为：,5.1久期,5.1.2几种常见债券的久期1）零息债券所以零息债券的久期公式可表示为：麦=1=0+0+(1+)=零息债券的麦考莱久期等于债券的期限；零息债券的麦考莱久期和修正久期都与债券的到期收益率无关,5.1久期,2）附息债券一张面值为F的附息债券，年息票额为C，一年支付一次，则同样应用上边的一系列公式有：债券到期前每期现金流都为C，到期时还有本金支付，则现金流见表51：,5.1久期,5.1久期,3）等额分期偿还债券这类债券每年偿还的本息和相等都为R，其他同前，则有：(5-9)(5-10)可以想到，等额分期偿还债券的麦考莱久期和修正久期与每年偿还的金额无关，只与债券的期限、到期收益率有
5、关,5.1久期,4）永久债券对于一永久债券，每年支付的利息为C，收益率为r，则：（5-11）（5-12）化简可得：进一步有：（5-14）,5.1久期,5.1.3久期值的计算方法1）列表法，这便是上文所有计算久期的方法。2）封闭式久期计算法（5-15）C表示息票额，F表示面值，r表示到期收益率，n表示债券剩余期限付息次数，P表示债券价格,5.1久期,3）有效久期计算法有效久期是1996年弗兰克法波齐（Frank Fabovi）提出的。有效久期D修（条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平滑）。计算公式（5-17）其中，P-指收益率下降x个基点债券价格，P+指收益率上升x个基点时债券价格，R_指初始
6、收益率减去x个基本点，R+指初始收益率加上x个基本点，P0指债券初始价格,5.1久期,4）简便的久期计算公式D麦（5-18）S为剩余年限付息次数。对于零息债券，C=0，则：5）利用Microsoft Excel计算久期（5-19）,（总第九讲）,久期和凸度专题（下）,本讲内容与教材对应说明5.1久期5.1.4 久期的性质及应用5.1.5 资产组合的久期5.1.6 风险免疫5.2凸度,5.1久期,5.1.4久期的性质及应用1）久期的性质（1）久期值与债券期限长度成正比。具体又有：债券期限越长，麦考莱久期和修正久期就越长；附息债券的麦考莱久期和修正久期均小于其到期时间，三者的关系是：D修D麦n零息
7、债券的麦考莱久期等于债券本身的期限，修正久期小于债券期限。,5.1久期,5.1.4久期的性质及应用1）久期的性质（2）久期值与息票额成反比，即票面利率越低，麦考莱久期和修正久期就越长。（3）久期值与到期收益率成反比，即到期收益率越高，麦考莱久期和修正久期就越短。（4）每年付息次数越多，久期值就越短。,5.1久期,2）久期的应用（1）久期是考察债券价格对利率变动敏感性的指标，是债 券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。（2）预测利率下跌，买入较长久期的债券（3）预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券（4）一个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平 均值,5.1久期,5.1.5资产组
8、合的久期一个资产组合的久期的标准定义是：资产组合的久期等于组成资产组合的各个资产的久期的加权平均（这里的久期是指修正久期），权重是各个资产的现值。与资产组合久期的定义相对应的是资产组合的收益率，资产组合的收益率定义为：资产组合的收益率是资产组合的现金流的到期收益率。资产组合的久期同样可以用公式推导出来。假设两个资产的组合M，由N1份债券B1，N2份债券B2组成，债券组合、债券的现价分别为PM、P1、P2，有如下价格关系：PM=N1P1N2P2,5.1久期,假设两个债券的到期收益率相同都为r，有：（5-21）其中，W1表示第一份债券价值所占总价值的比例，W2表示第二份债券价值所占总价值的比例,5
9、.1久期,5.1久期,5.1.6风险免疫（risk immunization）1）投资债券的风险种类（1）价格风险（利率上升，价格下跌）。（2）再投资风险（利率下降，价格上升，资本收益，但所得利息不得不以较低利率进行再投资）。2）风险免疫的原理价格风险与再投资风险对投资回报的影响都与投资组合的久期有关，可以选择适当的久期期限同时防止上述两种风险。,5.1久期,5.1.6风险免疫（risk immunization）3）风险免疫策略（1）有特定目标期限的风险免疫。（2）资产负债管理的风险免疫。4）风险免疫的本质使资产组合的久期与负债组合的久期期限相等，从而使净资产值不受利率变化的影响。,5.2
10、凸度,5.2.1凸度（convexity）的定义凸度用于描述久期的变化率或价格收益率曲线的弯曲程度。在数学上，凸度是价格对收益率的二阶导数除以债券的价格。仍假设一个债券，剩余期限为n年，到期收益率为r，面值为F，票面利息为C，则：（5-25）,5.2.2凸度的性质（1）凸度大于零。因此债券价格随收益率的变化并不是线性的，而是收益率向下浮动一定数量引起债券价格上升的幅度要大于收益率向上浮动相同数量引起债券价格下降的幅度。这一点对投资者是有用并且有利的。（2）凸度和收益率是反方向变动的，即随着收益率的上升，债券的凸度减小。因此，债券在较低收益率处的凸度大于在较高收益率处的凸度。,5.2 凸度,5.
11、2.2凸度的性质（3）凸度与期限成正向变动关系。即票面利率、付息次数以及收益率相同的债券，期限越长，其凸度越大。（4）凸度与票面利率也成反方向变动关系，即随着票面利率的上升，债券的凸度减小,5.2 凸度,5.2.3凸度的应用1）凸度在计算债券价格变化中的应用（5-31）从这个式子，可以看出收益率对债券价格的影响有两部分，第一部分为用修正久期计算的债券价格变化值，第二部分为用凸度计算的债券价格变化值结论：凸度大的债券投资价值高于凸度小的债券,5.2 凸度,投资策略：（1）投资者预测未来市场利率波动较小时，买入A债券（A债券凸度小，价格便宜）；卖出B债券（B债券凸度大，价格偏高）。,5.2 凸度,
12、投资策略：（2）投资者预测未来市场利率波动较大时，买入B债券（如果利率提高，债券下跌幅度小，可防范风险；如果利率下跌，债券涨幅大，有资本利差）；卖出A债券（如果利率提高，债券跌幅较大；如果利率下跌，债券涨幅小）,5.2 凸度,2）凸度在套利中的应用如果恰当地利用凸度，资金管理人则可以获得无风险资本收益。资金管理人员可以调整资产和负债的结构，使得资金和负债的久期相等，即DA=DL，而且使资产的凸度大于负债的凸度，即CACL，那么，无论利率上升还是下降，都有：因此，无论将来市场利率是上升还是下降，投资者都将获得资金盈利,5.2 凸度,5.2.5资产组合的凸度在利用凸度进行风险管理时，首先遇到的是计
13、算资产组合的凸度，资产组合的凸度定义为：资产组合的凸度等于资产组合中的各个证券凸度的加权平均，权重是各个证券的价值。有时还用到资产的价值凸度，价值凸度的定义为：价值凸度=价格凸度,5.2 凸度,5.2.5资产组合的凸度资产组合的价值凸度定义为：资产组合的价值凸度=资产组合的价格资产组合的凸度资产组合可以看成一个资产，那么，资产组合M的凸度应该定义为：（5-32）,5.2 凸度,两个资产的组合M，由N1份债券B1，N2份债券B2组成，债券组合、债券的现价分别为PM、P1、P2，存在如下价格关系：PM=N1P1N2P2（5-32）假设两个债券的到期收益率相同都为r，有：（5-33）再求二阶导数，然
14、后除以价格P，得到：（5-34）,5.2 凸度,5.2 凸度,因此在所有债券的收益率都是一样的情况下，这个公式是适用的。但在实际情况下，利率期限结构一般不是一条水平直线。有不同到期日或不同息票率的债券的收益率是不一样的，这个公式会有误差，但我们直接把资产组合的凸度看成是各个资产凸度的加权平均可以大大简化计算,5.2 凸度,在利率上升的情况下，一个债券的价格可能下降，如果债券持有人不愿意承担这个利率风险，可以通过其他债券的组合把该利率风险对冲掉。如果一个资产组合与目标债券具有相同的久期和凸度，现价也一样，这一资产组合在利率上升或下降的情况下与该债券的价格都近似相同，利率风险也可一对冲掉,谢谢！,
