1、2023届河北省高三年级开学考试数学试题第卷（选择题）一、选择题1. 若集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B2. 复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3. 已知数列的通项公式为，则取得最大值时n为（）A. 2B. 3C. 4D. 不存在【答案】B4. 2022年国际泳联世锦赛，中国队强势包揽本届世锦赛跳水项目全部13枚金牌，杨健以515.55的总分获男子十米台决赛金牌.若杨健在跳水运动过程中的重心相对于水面的高度h（米）与起跳后的时间t（秒）存在函数关系，则他重心入水时的瞬时速度为（）米/秒A. 10.1B. C
2、. 14.8D. 【答案】D5. 如图所示，三棱柱容器的棱长为8，且到侧面的距离为，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（）A. 4B. C. D. 【答案】C6. 过抛物线C：焦点F 且斜率为的直线与C交于A、B两点（点A 在x轴上方），已知点，则（）A. B. 4C. D. 9【答案】D7. 如图所示，梯形中，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B8. 定义在R上的函数，.则下列说法不一定成立的是（）A. ，使，.B. ，使，.C. ，使，.D. ，使，.【答案】D二、选择题9. 已知平面向量，两两的夹角相等，且，则（）A. 6B
3、. C. D. 【答案】AC10. 随机事件A与B互相独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则（）A. A发生的概率为0.6B. B发生且A不发生的概率为0.2C. A或B发生的概率为0.9D. A与B同时发生的概率0.2【答案】BD11. 函数的图象关于点中心对称，且在区间恰有三个极值点，则（）A. 在区间单调递增.B. 在区间有六个零点.C. 直线是曲线的对称轴.D. 图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数.【答案】BC12. 已知函数，则下列选项正确的是（）A. 上递增；在上递减.B. 时，有两个根.C. 当时，过能做两条切线.D. 方程有两个不相等的实数
4、根，则a的取值范围是.【答案】ABCD第卷（非选择题）三、填空题13. 展开式中的项的系数是_.【答案】3014. 数列1，2，3，4，5，6，7，8的通项公式_（写一个符合条件的即可）.【答案】 （答案不唯一）15. 中国象牙雕刻中传统雕刻技艺的代表“象牙鬼工球”工艺被誉为是鬼斧神工.“鬼工球”又称“牙雕套球”，是通过高超的镂空技艺用整块象牙雕出层层象牙球，且每层象牙球可以自由转动，上面再雕有纹饰，是精美绝伦的中国国粹.据格古要论载，早在宋代就已出现三层套球，清代的时候就已经发展到十三层了.今一雕刻大师在棱长为6的整块正方体玉石内部套雕出一可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体，若不
5、计各层厚度和损失，最内层的正四面体棱最长为_.【答案】16. 已知椭圆C：的两个焦点为，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则mn的最大值为_.【答案】#四、解答题17. 在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，面积为S，且.（1）求角A的大小.（2）当a取最小值时，求的周长和面积.【答案】（1）（2）周长为，面积为18. 数列的前n项积.数列的前n项和.（1）求数列、的通项公式.（2）求数列的前n项和.【答案】（1），（2）前n项和为，19. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点. （1）求证：平面.（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明
6、见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点为，可得，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得AM平面，进而可得平面ABCD平面PAD，然后建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.【小问1详解】取中点为，连接,在中，为的中点，为中点，,在正方形中，为的中点，,，四边形为平行四边形，平面，平面，平面；【小问2详解】在正三角形中，为的中点，又，平面，平面，AM平面，平面PCD，AMDC，在正方形ABCD中，ADDC，又平面，平面，DC平面PAD，平面ABCD，平面ABCD平面PAD，取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD2，则，设平面MDN的法向量为，令，
7、则，设平面PDC的法向量为，令，则，平面MND与平面PCD夹角的余弦值为.20. 全民国防教育日是每年9月的第三个星期六，它是国家设定的对全民进行大规模国防教育的主题活动日.目的是弘扬爱国主义精神，普及国防教育，使全民增强国防观念，掌握必要的国防知识和军事技能，自觉履行国防义务，关心、支持、参与国防建设.为更好推动本次活动开展，某市组织了国防知识竞赛.比赛规则：每单位一名选手参加，比赛进行n轮（），每轮比赛选手从A组题或B组题中抽取一道回答.每选手必须先回答A组题，若答对则下一轮回答B组题，若答错回答A组题.答对A组一题得10分，否则得0分，答对B组一题得20分，否则得0分，n轮结束累加总分.
8、已知某单位拟选派甲乙中一人参赛，且甲答对A组题概率为0.8，答对B组题概率为0.5，乙答对A组题概率为0.5，答对B组题概率为0.8，且每人答对每道题相互独立.问：（1）若比赛仅进行两轮，则安排甲乙谁参赛更合适？（2）若安排甲选手参赛，求第四轮甲恰好回答B组题的概率.【答案】（1）甲（2）0.63221. 已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.（1）求点的轨迹方程.（2）直线l与点的轨迹交于两点，直线的斜率与直线斜率之比为，求证以为直径的圆一定过C的左顶点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，由题可得，根据斜率公式结合条件即得；（2）由题可设直线，方程，与联立可得，进而可得，然后根据斜率关系即得.【小问1详解】由题意得，设，则，即，得，又点在C上，即，得，；【小问2详解】，设直线方程为，则方程为，联立，得（且），设，得，同理设，得，即，以MN为直径圆一定过C的左顶点.22. 已知函数.（1）若的最小值为0，求a的值；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）e（2）第9页/共10页学科网（北京）股份有限公司
