1、安康中学2020级高三第一次检测性考试（理科数学）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知向量与的夹角是，且，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D.3.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.下列说法中正确的是（ ）A.若样本数据，的平均数为5，则样本数据，的平均数为10B.用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学
2、参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C.某种圆环形零件的外径服从正态分布（单位：），质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为，则这批零件不合格D.对某样本通过独立性检验，得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有的人可能患肺病5.已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是（ ）A. B.84 C. D.246.已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ）A.，且B.，且C.，且D.，且7.在棱长为3的正方体内任取一点，则这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率
3、为（ ）A. B. C. D.8.已知命题：若且，则；命题，存在，使，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.9.已知实数满足，则的最大值为（ ）A.5 B.4 C.3 D.210.已知函数，给出下列四个结论函数的最小正周期是；函数在区间上是减函数；函数的图象关于直线对称；函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.其中正确结论的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.411.设双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（ ）A.6 B.3 C. D.12.对于给定的正整数，设集合，且.记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为
4、，则（ ）A. B.C. D.第II卷二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.已知，则_.14.如图，在中，是线段上一点，若，则实数的值为_.15.易经是中国传统文化的精髓，易经八卦分别为乾坤巽震坎离艮兑，现将乾坤巽三卦按任意次序排成一排，则乾不在中间的概率为_.16.已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点.当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a=_.三解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A为锐角.（1）求A；（2）求c及ABC的面积.18.（12分）在四棱锥中，底面
5、为直角梯形，分别为的中点，（1）证明：；（2）若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得.（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树
6、木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数.20.（12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为且不过原点的直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等比数列，推断是否为定值若是，求出此定值；若不是，说明理由.21.（12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）若存在，使，求实数的取值范围；（2）若有两个不同零点，证明：.请
7、考生在2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；（2）若曲线的参数方程为（为参数），点在曲线上，其极角为，点为曲线上的动点，求线段的中点到直线的距离的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，其中为实常数.（1）若函数的最小值为3，求的值；（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围.2023届陕西省安康中学高三月考数学（理科）答案解析一选择题：本大题共
8、12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】由已知，则，且，即.所以，所对应的点位于第四象限，故选.2.【答案】B【解析】由已知，即，所以，即，故选B.3.【答案】B【详解】直线与直线垂直，则，解得：或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.4.【答案】C对于A，若样本数据，的平均数为5，则样本数据，的平均数为，所以说法错误；对于B，由抽取的号码可知样本间隔为，则对应的人数为人，若该班学生人数为60，则样本间隔为，所以说法错误；对于C，因为，则，因为不在范围里，则这批零件不合格，所以说法正确；对于D，有的把握认为吸烟与患肺病
9、有关系，是指对样本所得结论“吸烟与患肺癌有关系”有的可能性，所以说法错误；故选：C5.【答案】A【解析】由已知，得，所以.令，得，所以展开式中含项的系数为，故选A.6.【答案】A【解析】由已知，.因为，则，从而，即，故选A.7.【答案】A因为棱长为3的正方体的体积为27，到该正方体各个面的距离均超过1的部分在棱长为1的正方体内，其体积为1，所以这个点到该正方体各个面的距离均超过1的概率.8.【答案】A【解析】若且，则且，得，即，从而，所以命题为真.因为直线与函数的图象在内有唯一交点，则方程有正数解，即方程有正数解，所以命题为真，故选A.9.【答案】D【解析】令，则，且.作可行域，平移直线，由图
10、知，当直线过点时，直线的纵截距最小，从而为最大，且，10.【答案】B【解析】.因为，则的最小正周期，结论错误.当时，则在区间上是减函数，结论正确.因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确.设，则，结论错误，故选B.11.【答案】C【解析】过点作轴的垂线，垂足为，因为，则为的中点，所以，.设，则.在Rt中，.在Rt中，则，即.因为，则，所以，即，所以12.【答案】D【解析】对于集合，满足的集合只有1个，即；满足的集合有2个，即；满足的集合有4个，即；满足的集合有个，所以.由错位相减法，得，所以，故选D二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】14.【答案】【解
11、析】因为，则，所以.因为三点共线，则，所以.15.【答案】将乾坤巽三卦按任意次序排成一排，不同排法有：乾坤巽，乾巽坤，坤乾巽，坤巽乾，巽乾坤，巽坤乾，共有6种，其中乾不在中间的排法有：乾坤巽，乾巽坤，坤巽乾，巽坤乾，共4种，所以乾不在中间的概率为.故答案为：16.【答案】【解析】设，所以，设，当时，所以单调递增，当时，所以单调递减，当时，函数有最小值，即有最小值，所以，此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，由，显然在直线上，则，因此有，故答案为：三解答题（本大题共6大题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（1）因为，所以，即.因为，所以.因为A为锐角，所以.（2）因
12、为，所以，所以，解得或（舍去），故ABC的面积为.18.（1）证明：因为为的中点，所以.又，且，所以平面，又因为面，所以；（2）因为底面为直角梯形，所以四边形为矩形，所以，又，平面，所以四边形是平行四边形，则，所以，则，以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向量为，则，所以平面和平面所成角的余弦值.19.（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为（2）则（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量
13、与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得.则该林区这种树木的总材积量估计为20.【答案】（1）；（2）是定值，.【解析】（1）因为抛物线的焦点为，则，所以，因为直线与圆相切，则，即.解得，所以椭圆的方程（2）设直线的方程为，点，将直线的方程代入椭圆方程，得，即，则由已知，则，即所以，即因为，则，即，从而，所以为定值.21.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）解法一：若，因为，则，此时在上单调递增.当时，不合题意.若，由，得，即，则在上单调递增，在上单调递减，所以.据题意，则，即，所以的取值范围是.解法二：当时，由，得，即.设，据题意，当时，能成立，则.因为，则当时，单调递增；当时，单调
14、递减.所以，故的取值范围是.（2）由题设，即，则，即.要证，只要证，即证，即证.不妨设，由（1）可知，且，从而.因为在上单调递减，所以只要证，即证.设，则，所以在上单调递增.因为，则，即，即，所以原不等式成立.22.【答案】（1）（2）.【解析】（1）由，得.将代入，得曲线的直角坐标方程为.由得，所以直线的普通方程为.（2）由题设，点的极坐标为，其直角坐标为.设点，则的中点的坐标为.点到直线的距离.所以点到直线的距离的最大值为.23.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）因为，当且仅当时取等号，则.令，则或.（2）当时，.由，得，即，即，即.所以.因为函数和在上都是减函数，则当时，；当时，所以的取值范围是.学科网（北京）股份有限公司
