1、2022届高三五月联合测评数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数，其中i是虚数单位，则（ ）ABCD2集合，则（ ）ABCD3已知，且，则（ ）ABCD4已知向量，若，则实数（ ）ABCD5南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列，则（ ）ABCD6若函数是周期函数，最小正周期为则下列直线中，图象的对称轴是（ ）ABCD7已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点P
2、在双曲线C的右支上，则的最小值为（ ）ABCD8若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）ABCD且二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）A的最小值为1B的最小值为C的最小值为4D的最小值为10袋中装有4个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，从中不放回的随机取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的有（ ）A事件A与事件B不互斥B事件
3、A与事件B独立C在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为D在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为11已知则下列说法正确的有（ ）A函数有唯一零点B函数的单调递减区间为C函数有极大值D若关于x的方程有三个不同的根则实数a的取值范围是12小淘气找到了一支粉笔，测量后发现该粉笔的形状恰好是正六棱台（正六棱台：棱台的上下底面均为正六边形，所有侧棱延长后交于一点，该点在棱台上、下底面的投影为分别为上、下底面的中心），棱台的高为h若，（单位：mm），不考虑其它因素，则（ ）A粉笔的体积为B若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的正六棱锥，则该棱锥的体积为C若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的侧面
4、积为D若小淘气将该粉笔磨成一个体积最大的球，则该球的半径为3mm三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若直线l沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率_14已知两条异面直线a，b所成角为60，在直线a上取点C，E在直线b上取点D，F，使，且已知，则线段EF的长为_15若随机变量等可能地在，中取值，其中，则的最小值为_16五名运动员A，B，C，D，E相互传球每个人在接到球后随机传给其他四人中的一人设首先由A开始进行第1次传球，那么恰好在第5次传球把球传回到A手中的概率是_（用最简分数表示）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤17（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（）求B；（）若，求的面积的最大值18（12分）飞天梦永不失重，科学梦张力无限“天宫课堂”是我国推出的全球首个太空科普教育活动，2022年3月23日15时40分，“天宫课堂”第二课如约而至，航天员王亚平在翟志刚、叶光富的协助下，成功演示了太空“冰雪”、液桥演示、水油分离、太空抛物等实验，激发了青少年学生追梦航天的飞天梦、科学梦受“天宫课堂”启发，某学生分别在实验室的正常环境、失重环境下进行某项实验，其中正常环境下试验100次，成功40次；失重环境下试验10次，失败3次（）用频率估计概率，求该同学在失重环境下实验成功的概率；（
6、）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关成功次数失败次数合计正常环境失重环境合计附：，其中0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819（12分）设为等差数列的前n项和，且，（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前30项和20（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，（）证明：平面PBD；（）若PB与平面PAD所成角为，求二面角的余弦值21（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为2（）求椭圆C的方程；（）过定点的动直线l与椭圆交于点，过作x轴垂线交圆于，过作x轴垂
7、线交圆于，且满足点与在x轴同侧，点与在x轴同侧试问；直线是否恒过定点？请说明理由22（12分）设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”已知，（）讨论函数的单调性；（）若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由2022届高三五月联合测评数学试题参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CCABDBBD1答案：C解：设，则，故，选C2答案：C解：或，故，故，选C3答案：A解；因为，所以于是，故选A4答案：B解：，由得，解得，故选B5答案：D解：由题可知，对累加得，故选
8、项D正确6答案：B解：因为最小正周期为，故恒成立，故，代入检验得为函数图象的对称轴，其它直线均不是函数图象的对称轴，故选B7答案：B解：由双曲线定义可得：，其中，将代入得：，故选B8答案：D解：作图观察可得，在且条件下可以做出曲线的两条切线，故选D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分题号9101112答案ACACDACDBC9答案：AC解：抛物线焦点为，准线为，作出图象，对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；
9、对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误10答案：ACD解：对选项A：“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件A中，也在事件B中，故事件A与事件B不互斥，选项A正确；对选项B：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率，因为，所以事件A与事件B不独立，选项B错误对选项C：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项C正确；对选项D：事件A的概率，事件B的概率，事件AB的概率在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为，选项D正确11答案：ACD解：由题可知：设
10、，则，由得：，故函数有唯一零点由得：；由得；故在上单增在上单减，作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下：于是可得选项ACD正确，选项B应改为：函数的单调递减区间为，12答案：BC解：对选项A：棱台上底面面积，由棱台体积公式，故，选项A错误；对选项B：体积最大的正六棱锥底面为ABCDEF，高为，故底面积，由棱锥体积公式，故，选项B正确；对选项C：体积最大的圆锥底面为正六边形ABCDEF的内切圆，高为，此时底面半径为，圆锥的母线长，故圆锥侧面积，选项C正确；对选项D：先将正六棱台侧棱延长交于一点P得到正六棱锥，正六棱锥的内切球即为可以磨成的体积最大的球，对于正六棱锥，设高为H，则，代入
11、，故，以内切球球心I为顶点将正六棱锥分割为7个小的棱锥，分别为，分割前正六棱锥的体积为若内切球半径为r，则7个小的棱锥的体积之和为由等体积法：，故，且，选项D错误三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13答案：解：由题可知，直线的方向向量为，故直线l的斜率14答案：或2解：如图，将线段CE沿平移至DK位置，此时，由异面直线所成角的定义，为异面直线a，b所成角或其补角，设，则或先求在中，故，注意到平面，故于是在中，由佘弦定理同理，于是或215答案：解：随机变量等可能地在，中取值，故取每个值的概率均为，于是，设，则，设，则，故在上单调递增，结合，于是当时，从而，故在上单调递减，当时，从而，
12、故在上单调递增，故16答案：解：设第n次传球把球传回到A的手中的概率为，第1次传球A将球传给其他运动员，故；表示第次传球把球传回到A的手中，故传球前球不在A手中，而每名运动员传给其他一名指定运动员的概率为，由乘法原理，故于是结合，故数列为首项为，公比为的等比数列，于是，即，故17答案：（）；（）解：（）因为，由正弦定理得：将代入上式得：结合，可得即，因为，所以结合得（）法一；若，由余弦定理得注意到，由均值不等式，故，当且仅当时取等，于是，当且仅当即为正三角形时取等故的面积的最大位法二：若，由正弦定理，故，将代入上式得，其中，将展开变形得故，由得故的面积的最大值，当且仅当即为正三角形时取等18答
13、案：（）；（），故没有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关解：（）由题可知，失重环境下试验10次，成功7次，失败3次，故由频率估计概率，该同学在失重环境下成功的概率为；（）由题可知：正常环境下试验100次，成功40次，失败60次；失重环境下试验10次，成功7次，失败3次，故列联表如下：成功次数失败次数合计正常环境4060100失重环境7310合计4763110（得出3.343可得10分）故，故没有95%的把握认为该实验成败与选择的实验环境有关19答案：（）；（）解：（）设等差数列的公差为d，由，得：解得：，故数列的通项公式为（）由（）可知，故，首先对任意的都有于是20答案：（）（）证
14、明：平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，结合，平面PAD，平面PAD，平面PAD又平面PAD，结合，平面PBD，平面PBD，平面PBD（）如图，以D为原点，分别以，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，故由（）可知平面PBD，平面PBD，故在平行四边形ABCD中，故，结合，可得点的坐标，结合，平面PAD，平面PAD，平面PADPD是斜线PB在平面PAD上的射影，PB与平面PAD所成角为，在中，从而P点坐标为对于二面角，平面PCD的一个法向量为，设平面PBC的法向量为，此时，【得出这一结果得10分】则由得，即，取得，于是平面PBC的一个法向量为，故二面角的余弦值为21答案：（I）；（
15、）恒过定点（得出这一结果给2分）解：由题可知离心率为，故；短轴长为2，故，结合，解得，于是椭圆C的方程为；（）设，因为A，B在椭圆C上，所以，变形得，这表示点，均在圆上，（得出坐标得2分）因为点与横坐标相同，纵坐标同号，于是点的坐标为，同理点的坐标为当时，因为过定点P，所以直线，的斜率相等，于是，即，此时，取点，则表示点与两点连线的斜率，表示点与两点连线的斜率，于是，这意味着直线恒过定点，当动直线绕点旋转时，点，的横纵坐标发生变化，于是点，的横纵坐标随之变化，故除了定点外，动直线不过其它定点，否则过两定点，为定直线，矛盾当时，经检验，此时直线过定点综上，直线过定点22答案：（）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（）是上的几何上凸函数解：（）定义域为，的导函数当时，故在单调递减；当时，得：；由得：；于是在单调递减，在单调递增，综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增（）是上的几何上凸函数，证明如下：由（）可知，当时，在单调递减，在单调递增故，故为连续正值函数由于，要证是上的几何上凸函数需证，即证，则，需证由，且故只需证下面给出证明：设，则，即在上，递减，所以，即综上，成立，故，得证
