1、张家口市20222023学年度高三年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D【解析】由Ux|1x10，A1，2，3，B1，2，3，4，5，6，得(UA)B，故选D.2.A【解析】z2i2i14i，故14i.故选A.3.C【解析】由题意，得875%6，所以a9.小于a的有6个数，所以随机取两个数都小于a的概率为P，故选C.4.B【解析】当x0时，f (x)0，得f (x2x)f (x)，所以，故1，解得0xe22eln 2，所以ab.设y，则y.当x时，y0，函数y单调递增；当x时，y0，函数y
2、单调递减，又e.又a，c，所以ca.综上ba4，故C错误；因为ba2aa，设f 2mm，则f 2mln 21，当m1时，f 0，所以当m1时，函数f 2mm单调递增，故f 2mmf 1，即ba1，所以D正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.4【解析】因为ab，所以243，所以4.14.1【解析】由题意，得2，所以c.又2，a2b2c2，解得a23，b212，所以双曲线C的方程为1.15.【解析】根据题意，得l与函数f 的切点为(1，a)，设l与函数gex的切点为(x2，ex2)，又f 2ax，gex，所以k2aex2，所以切线l的方程为ya2a(x1)，即y2axa.同时切线
3、l的方程也为yex2ex2(xx2)，即yex2xex2x2ex2，所以aex2x2ex2b，解得x2，所以b.16.3；(，2)【解析】以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(2，0)，C(2，0)设A，由c3b，得3，所以3，化简得x2y25x40，y0，所以点A到BC的最大距离为圆x2y25x40的半径，故ABC面积的最大值为S3.由正弦定理，得2RR.因为r(4b3b)SABCbcsin Asin Ar，故rR.由得1b2.令f (x)(1x0，所以f (x)在(1，2)上单调递增，故f (x)的值域为(，)，所以rR的取值范围是(，2)四、解答题：本题共6小题，共
4、70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)解：(1)由直方图，得平均数的估计值为4(20.012560.0375100.05140.075180.0375220.025260.0125)13.4(分)，3分因为4(0.01250.0250.0375)0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社区有30%的居民排队时长超过16分钟.5分(2)由(1)可知样本中有30%10030(人)排队时长超过16分钟.6分又两小区的居住人数之比为911，故在A小区抽取了45人，在B小区抽取了55人
5、，7分故填表如下：排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A小区202545B小区104555合计30701008分零假设为H0：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区无关，28.136.635x0.01.9分根据小概率值0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.10分18.(本小题满分12分)(1)证明：由题意，得a1S12a1412，所以a12，a146.1分由Sn2an4n2，得Sn12an142，n2，所以anSnSn12an2an14，n2，3分所以an2an
6、14，n2，故2，n2，4分所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列.5分(2)解：由(1)得an462n132n，故an32n4，6分则nan3n2n4n.7分设bnn2n，其前n项和为Pn，则Pn12222n2n，2Pn122223n2n1，所以Pn222232nn2n122n1n2n1，所以Pn2n12，10分所以Tn3Pn432n1642n12n22n6.12分19.(本小题满分12分)解：(1)由正弦定理，得(ab)(ab)(cb)c，即a2b2c2bc，2分故，由余弦定理，得cos A，所以A120.4分(2)由平面四边形内角和为360，可知ABCBEC90.5分在ABC中，由正弦
7、定理，得，即.6分在BEC中，由正弦定理，得，即，7分所以sinABCsin.8分又sinABCsinsinABCcosABCsin，所以sin，故2ABC30，即ABC15，所以ACB45.10分sin 15sin.由正弦定理，得，所以c，b，11分所以SABCcbsin Asin 1201.12分20.(本小题满分12分)(1)证明：由ABBCCDDA2，得ADBC，1分设F，H分别为棱BC和棱PD的中点，连接PF，DF，HF，EH，如图，所以EH綊AD，故EH綊BF，故BE綊FH.2分因为EBBC，所以FHBC.3分因为PCPB，所以PFBC.又PF平面PDF，HF平面PDF，PFHFF
8、，所以BC平面PDF，又PD平面PDF，所以BCPD.4分(2)解：由(1)知BC平面PDF，所以BCDF.又DC2，CF1，故DF.因为BE，且BE綊FH，所以FH.因为PBPCBC2，F为BC的中点，所以PF，故PD，PDF为等边三角形由BC平面PDF，BC平面ABCD，得平面PDF平面ABCD.以F为坐标原点，分别以直线FD，FB为x，y轴，以过点F且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.6分所以F，D，C，P.7分设m(x1，y1，z1)为平面PBC的法向量，则有即可取m(，0，1)，8分设n(x2，y2，z2)为平面PDC的法向量，则有即可取n(，3，
9、1)，10分所以|cosm，n|，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为.12分21.(本小题满分12分)(1)解：f(x)的定义域为R，f (x)eax，1分当a0时，f (x)0时，在区间上，f (x)0，在区间上，f (x)0，所以函数f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减；3分当a0时，在区间上，f (x)0，所以函数f (x)在区间上单调递减，在区间上单调递增.4分(2)证明：f(x)xeaxeaxln x，5分要证ln xax1，即证ln xax1.6分设gx1ex，则g1ex，7分在区间上，g (x)0，所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，9分所以gg0，
10、10分故10，当ln xax0时等号成立，所以ln xax1成立，故ln xax1.12分22.(本小题满分12分)解：(1)设E，则EAr，所以EA2x2，2分即y2x236，化简得y212x.3分(2)设P，直线PM为yy0k1，直线PN为yy0k2，则y12x0，M，N，4分故x0x0.5分又直线PM和直线PN与圆(x1)2y21相切，所以1，故k1，k2是方程1的两个根，6分即k1，k2是方程k22y0ky10的两个根，所以k1k2，k1k2.8分则PMN的面积SPMNx0x0x0x0.9分设f，x2，则f (x).10分所以当x(2，5)时，f (x)0，函数f单调递增.11分所以当x05时，SPMN取得最小值，最小值为.12分11高三数学参考答案及评分标准 第 页（共9页）学科网（北京）股份有限公司
