1、1.2 应用举例第1课时正、余弦定理在实际问题中的应用双基达标(限时20分钟)1某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为()A. B2 C2或 D3解析根据余弦定理可得，()2x23223xcos(180150)，即x23x60，x2或.答案C2从200 m高的山顶看，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为()A. m B. m C. m D. m解析由山顶与塔底的俯角为60可知，山脚与塔底的水平距离为，又山顶看塔顶的俯角为30，设塔高为x m，则200x，x m故选A.答案A3要测量底部不能到达的东方明珠
2、电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 m B400 m C200 m D500 m解析 由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD 中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500，解之得h500 m故选D.答案D4如图，A、B两点间的距离为_解析AB23232233cos 4532(2)，AB3.答案35. 如图所示
3、，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A，B，在另一侧岸边选定点C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_解析设河宽h m，则120，又tan 75，hh120，h60 m.答案60 m6一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程解 如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船， 则A，B，C构成一个三角形，设所需时间为t小
4、时，则AB21t海里，BC9t海里又已知AC10海里，依题意知，ACB120，根据余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosACB.(21t)2102(9t)22109tcos 120，(21t)210081t290t，即360t290t1000.t或t(舍)AB2114(海里)即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14海里综合提高 （限时25分钟）7已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a km C.a km D2a km解析在ABC中，ABBCa km，ACB180(2
5、040)120，AB a (km)答案B8有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长()A5 m B10 mC10 m D10 m解析如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30.依题意，B30，BAB753045，AB10 m，在ABB中，根据正弦定理，得BB10 (m)，即当坡底伸长10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.答案C9已知A，B两岛相距10 n mile，从A岛看B，C两岛的视角为60，从B岛看A，C两岛的视角是75，则B，C两岛的距离为_ n mile.解析A，B，C为ABC的顶点，且A60，B75，C180(
6、AB)180(6075)45.根据正弦定理得，BC5 (n mile)答案510某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船_触礁的危险(填“有”或“无”)解析由题意在三角形ABC中，AB30，BAC30，ABC135，ACB15，由正弦定理BCsinBACsin 3015()在RtBDC中，CDBC15(1)38.答案无11.为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案；包括：指出需要测量的数据(
7、用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤解需要测量的数据有A到M、N的俯角1、1，B到M、N的俯角2、2，A、B的距离d(如图所示)方案一：第一步：计算AM，由正弦定理AM；第二步：计算AN，由正弦定理AN；第三步：计算MN，由余弦定理MN.方案二：第一步：计算BM，由正弦定理BM；第二步：计算BN，由正弦定理BN；第三步：计算MN，由余弦定理MN.12(创新拓展)某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60距离20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)小时后开始影响基地持续2小时求台风移动的方向解如题图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，则B，C，D在同一直线上，且AD20海里，AC20海里由题意知，AB20(1) 海里，DC21020 海里，BC(1)10 海里在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC，BAC30，又B位于A的南偏东60，且603090180，D位于A的正北方向，又ADC45，台风移动的方向为的方向，即北偏西45方向所以台风向北偏西45方向移动
