1、 (120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为()A.50B.100C.150D.200【答案】A2.已知直线l过点P(,1),圆C:x2+y2=4,则直线l与圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相交或相切D.相离【答案】C【解析】因为直线l过点P(,1),而点P在圆C:x2+y2=4上,故直线l和圆相交或相切.3.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9B.200+18C.140+9D.140+18【答案】A【
2、解析】由三视图可知该几何体上面是一个半圆柱,下面是一个长方体,因此该几何体的体积为V=322+1045=200+9.4.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1l2,则x=()A.2B.-2C.4D.1【答案】A5.(2016潍坊高一检测)直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是()A.B.-C.2D.-2【答案】B【解析】将直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点坐标代入直线x+ky=0,即可求出k的值.解方程组得则点(-1,-2)在直线x+ky=0上,得k=-.6.(2016郑州高一检测)圆:x2+
3、y2-4x+6y=0和圆:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0【答案】C【解析】AB的垂直平分线即是两圆连心线所在的直线,两圆的圆心为(2,-3),(3,0),则所求直线的方程为=,即3x-y-9=0.7.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=()A.-B.1C.2D.【答案】C【解析】因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点,由圆的切线性质可知,圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心
4、(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.8.设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2,下列说法中最合适的是()A.V1比V2大约多一半B.V1比V2大约多两倍半C.V1比V2大约多一倍D.V1比V2大约多一倍半【答案】D9.如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EFBA,则EF与CD所成的角为()A.90B.45C.60D.30【答案】D【解析】取BC的中点H,连接EH,FH,则EFH为所求,可证EFH为直角三角形,EHEF,FH=2,EH=1,从而可得EFH=30
5、.10.设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A.若,=n,mn,则mB.若m,n,mn,则C.若m,n,mn,则D.若n,n,m,则m【答案】D11.(2015全国卷)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】圆心在直线BC的垂直平分线即x=1上,设圆心D(1,b),由DA=DB得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为d=.12.(2016聊城高一检测)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.
6、4x-y-3=0D.4x+y-3=0【答案】A【解析】根据平面几何知识,直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,这两点连线的斜率为,故直线AB的斜率一定是-2,只有选项A中直线的斜率为-2.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为.【答案】12【解析】由题意,圆心为(0,-1),又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4()2=12.14.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:若ab
7、,bc,则ac;若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.【答案】015.(2016大庆高一检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ADC平面ABC,在折起后形成的三棱锥D-ABC中,给出下列三种说法:DBC是等边三角形;ACBD;三棱锥D-ABC的体积是.其中正确的序号是(写出所有正确说法的序号).【答案】【解析】取AC的中点E,连接DE,BE,则DEAC,BEAC,且DEBE.又DE=EC=BE,所以DC=DB=BC,故DBC是等边三角形.又AC
8、平面BDE,故ACBD.又VD-ABC=SABCDE=11=,故错误.16.(2016杭州高一检测)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是.【答案】4x+3y+25=0或x=-4三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有一块扇形铁皮OAB,AOB=60,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:(1)AD应取多长?(2)容器的容积为多大?【解析】(1)如图,
9、设圆台上、下底面半径分别为r,R,AD=xcm,则OD=(72-x)cm.由题意得所以R=12, r=6,x=36,所以AD=36cm.(2)圆台所在圆锥的高H=12,圆台的高h=6,小圆锥的高h=6,所以V容=V大锥-V小锥=R2H-r2h=504.18.(12分)(2016兰州高一检测)已知ABC的顶点A为(3,-1),AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0,B的平分线所在直线方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.设A点关于x-4y+10=0的对称点为A(x,y),则有A(1,7),因为点A(1,7),B(10,5)在直线BC上,所以=,故BC边所在直线的方程为2x
10、+9y-65=0.19.(12分)(2015郑州高一检测)已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4,求圆的方程.【解析】设圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=10.因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a.解方程组得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0,所以x1+x2=a+b,x1x2=.由弦长公式得=4,化简得(a-b)2=4.解组成的方程组,得a=2,b=4,或a=-2,b=-4.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-4)2=10,或(x+2)2+(y+4)2=10.20.(12分)(2016北京高一检测)某几何体的三视图如图所示,P是正方形ABCD对角
11、线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.(2)在直观图中,证明:PD平面AGC;证明:平面PBD平面AGC.因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OGPD.又OG平面AGC,PD平面AGC,所以PD平面AGC.连接PO,由三视图,PO平面ABCD,所以AOPO.又AOBO,BOPO=O,所以AO平面PBD.因为AO平面AGC,所以平面PBD平面AGC.21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧面PAD底面ABCD,PAAD,E,F,H分别为AB,PC,BC的中点.(1)求证:EF平面PAD.(2)求证:平面PAH平面DEF.因为EN平面EFN,FN平
12、面EFN,ENFN=N,PD平面PAD,AD平面PAD,PDAD=D,所以平面EFN平面PAD,因为EF平面EFN,所以EF平面PAD.(2)因为侧面PAD底面ABCD,PAAD,侧面PAD底面ABCD=AD,所以PA底面ABCD,因为DE底面ABCD,所以DEPA,因为E,H分别为正方形ABCD边AB,BC的中点,所以RtABHRtDAE,则BAH=ADE,所以BAH+AED=90,则DEAH,因为PA平面PAH,AH平面PAH,PAAH=A,所以DE平面PAH,因为DE平面EFD,所以平面PAH平面DEF.22.(12分)(2016长春高一检测)已知点(0,1),(3+2,0),(3-2,0)在圆C上.(1)求圆C的方程.(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值. (2)由消去y,得2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,此时判别式=56-16a-4a2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有由于OAOB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,由得a=-1,满足0,故a=-1.
