1、章末复习课 整合网络构建警示易错提醒1圆心角与圆周角的定理的关注点(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”2正确运用切线的判定定理在运用切线的判定定理时，要分清定理运用的前提和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线专题一与圆有关的角的计算与证明与圆有关角的问题主要包括两类：一是计算角的大小，二是证明角之间的相等关系解决此类问题的常用定理有：圆周角定理及其推论、弦切角定理及其推论、圆内接四边形的性质、三角形的外角定理等，灵活掌握各种角之间的相互转化和
2、综合应用是解决问题的关键另外，注意等腰三角形、全等三角形、相似三角形等几何模型在解题中的应用例1已知：如图所示，ABC内接于O，AB为直径，CBA的平分线交AC于点F，交O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD.(1)求证：DACDBA.(2)求证：P是线段AF的中点(3)若O的半径为5，AF，求tanABF的值(1)证明：因为BD平分CBA，所以CBDDBA.因为DAC与CBD都是弧CD所对的圆周角，所以DACCBD，所以DACDBA.(2)证明：因为AB为直径，所以ADB90，因为DEAB于E，所以DEB90，所以ADEEDBABDEDB90，所以ADEABDDAP，所以PDPA
3、，因为DFADACADEPDF90，所以PDFPFD，所以PDPF，所以PAPF，即P是AF的中点(3)解：因为DAFDBA，ADBFDA90，所以FDAADB，所以，由题意可知圆的半径为5，所以AB10，所以.所以在RtABD中，tanABD，即tanABF.变式训练如图所示，AE是圆O的切线，A是切点，ADOE于点D，割线EC交圆O于B，C两点(1)证明：O，D，B，C四点共圆；(2)设DBC50，ODC30，求OEC的大小(1)证明：连接OA，OC(如图)，则OAEA.由射影定理得EA2EDEO.由切割线定理得EA2EBEC，故EDEOEBEC.即.又OECOEC，所以BDEOCE，所以
4、EDBOCE.因此O，D，B，C四点共圆(2)解：连接OB.因为OECOCBCOE180，结合(1)得OEC180OCBCOE180OBCDBE180OBC(180DBC)DBCODC20.专题二与圆有关的线段的计算与证明与圆有关的线段问题主要包括三类：一是线段的计算问题，二是证明线段相等，三是证明线段的比例式或等积式通常线段的计算问题有以下几种解题策略：(1)将所求线段化归到特殊三角形中(如等腰三角形、直角三角形等)进行求解；(2)构造所在线段的相似三角形，利用相似三角形的性质求解；(3)借助相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理进行求解证明线段相等的方法有：(1)转化为等腰三角形的问
5、题，利用“等角对等边”或等腰三角形的“三线合一定理”进行证明；(2)转化为全等三角形问题，利用全等三角形的性质证明；(3)转化为相似三角形的问题，利用相似三角形性质列出比例式或等积式，从而找到相等关系；(4)利用第三个几何量进行等价转化证明线段的比例式或等积式的主要途径是构造相似三角形，利用相似三角形的性质证明，要注意与圆有关的比例式例2如图所示，在ABC中，CD是ACB的平分线，ADC的外接圆交线段BC于点E，BE3AD.(1)求证：AB3AC；(2)当AC4，AD3时，求CD的长(1)证明：因为四边形ACED为圆内接四边形，所以BDEBCA.又DBECBA，所以BDEBCA.则.在圆内接四
6、边形ACED中，CD是ACE的平分线，所以DEAD，.而BE3AD，所以BA3CA，即AB3AC.(2)解：由(1)得AB3AC12.而AD3，所以DE3，BD9，BE3AD9.根据割线定理得BDBABEBC，所以BC12，ECBCBE3.在圆内接四边形ACED中，由于ADEC，所以ACDEDC，DEAC.在等腰梯形ACED中，易求得CD.变式训练如图所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB为垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC.(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径(1)证明：连接DE(如图)，交BC于点G.由弦
7、切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因为DBBE，所以DE为直径，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)解：由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂线，所以BE.设DE的中点为O，连接BO，则BOE60.从而ABEBCECBE30，BFC180CBFBCF90，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径等于.专题三分类讨论思想分类讨论就是把研究的问题按照某种标准分成若干种情况，然后一一解决，从而使整个问题得到解决在与圆有关的问题中，有时需要确定点与圆的位置关系或弦与圆心的位置关系如圆心与圆周角存在三种位置关系，即圆心在圆周角的一条边上、圆心在圆周
8、角的内部和圆心在圆周角的外部，这就需要在运用圆周角定理时从不同情况去考虑与分析应重视分类讨论思想在解决圆有关问题中的应用例3已知A，B，C，D是O上的四个点，若AB与CD所在的直线交于点E，且，分别是120，40，求AED的大小解：符合题意的点E有两种位置当点E在圆内时，如图所示，连接AC，根据圆周角定理可得：BAC4020，ACD12060.因为AEDACDBAC，所以AED602080.当点E在圆外时，如图所示，连接BD，根据圆周角定理可得：BDC4020，ABD12060，因为AEDABDBDC，所以AED602040.综上所述，AED40或80.变式训练已知O的直径AB2 cm，过A点
9、的两条弦AC cm，AD cm，求CAD所夹圆内部分的面积S.解：符合题设条件的CAD有两种情况图图当圆心在CAD内部时，如图所示，连接OC，OD，过O作OEAD于E.因为OAOC1 cm，AC cm，所以OCAB，因为OA1 cm，AEAD cm，所以OE cm，所以OAE30，所以BOD2OAE60.所以SSAOCS扇形BOCSAODS扇形BOD111212(cm2)当圆心在CAD外部时，如图所示，连接OC.由知SAOCcm2，SAOD cm2，S扇形BOC cm2，S扇形BOD cm2，所以SSAOCS扇形BOCSAODS扇形BOD(cm2)所以CAD所夹圆内部分的面积为cm2或 cm2
10、.专题四方程的思想方程思想就是利用式子的条件有意识地将其转化成方程，或者说从方程的角度对式子加以认识与应用的思想由于圆中涉及数量关系的式子很多，并且可以转化成数量关系的式子也很多，所以方程思想在有关圆的问题中得到了广泛的应用例4如图所示，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6.求C，B，D，E所在圆的半径(1)证明：连接DE(如图)，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，所以ADEACB，所以
11、ADEACB，所以C，B，D，E四点共圆(2)解：当m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.因为A90，所以GHAB，HFAC.所以HFAG5，DF(122)5.HD5，所以C，B， D，E四点所在圆的半径为5.变式训练如图所示，在RtABC中，ABC90，O是AB上一点，以O为圆心，以OB为半径作圆交AC于E，F，交AB于D.若E是的中点，且AEEF31，FC4，求CBF的正弦值及BC的长解：如图所示，连接OE，DF，OF，因为E为的中点，所以DOEDBF，所以OEBF，所以AOOBAEEF31.所以OEBF34.设OBr，则AO3r，BFr.所以ADAODOAOOB3rr2r.又由割线定理得AEAFADAB.所以AEAF2r4r，即3EF4EF8r2，所以EFr.又由割线定理，得BC2CFCE4(4EF)4.在RtABC中，AB2BC2AC2，即(4r)24(4EF4)2，解得r，所以BC.又因为CBFBDF，在RtDFB中，sinBDF，所以sinCBF.
