1、课时提升作业(八)含有一个量词的命题的否定(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014烟台高二检测)对下列命题的否定说法错误的是()A.p:能被2整除的数是偶数;p:存在一个能被2整除的数不是偶数B.p:有些矩形是正方形;p:所有的矩形都不是正方形C.p:有的三角形为正三角形;p:所有的三角形不都是正三角形D.p:x0R,+x0+20;p:xR,x2+x+20【解析】选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题:所有的三角形都不是正三角形,故选项C错误.2.关于命题p:“xR,x2+10”的叙述正确的是()A.p:x0R,+10B.p:xR,x2+1=0C.
2、p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“xR,x2+10”的否定是“x0R,+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.3.(2014广州高二检测)命题“x0,都有x2-x0”的否定是()A.x00,使得-x00B.x00,使得-x00C.x0,都有x2-x0D.x0,都有x2-x0【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.【变式训练】已知命题p:x0R,+10,则p是()A.x0R,+10B.xR,x2+10C.x0R,+10D.xR,x2+10【解析】选B.命题p是一个特称命题,其否定为全称命题,p:xR,x2+10.4.已知命题p:“对xR,mR,使4
3、x+2xm+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是()A.-2m2B.m2C.m-2D.m-2或m2【解题指南】根据p与p的真假性相反知p是真命题,然后求m的取值范围即可.【解析】选C.因为p是假命题,所以p是真命题.所以m=-2.5.已知命题p:xR,2x2+2x+0,若p或q为假,则实数m的取值范围为()A.m-2B.m2C.m2或m-2D.-2m2【解题指南】先判断命题p,q的真假,转化为含有一个量词的命题的否定求参数的取值范围,再求交集.【解析】选B.由p或q为假,得p,q都是假命题,从而p,q都是真命题.p:对任意xR,mx2+10成立,得m0;q:存在x0R,+mx0+1
4、0成立,得=m2-40,解得m2或m-2.综上所述,m2为所求.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定为,否命题为_.【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不是同位角,则它们不相等.答案:有的同位角不相等若两个角不是同位角,则它们不相等【误区警示】解答本题易混淆命题的否定与否命题的概念,命题的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.8.(2014长春高二检测)设命题p:xR,x2+ax+20,若p为真,则实数a的取值范围是_.【解析】因为p为真,又p:x0R,
5、+ax0+20,而函数f(x)=x2+ax+2开口向上,所以aR.答案:aR9.命题“x0,y00,+2x0y0”的否定为_.【解析】命题是特称命题,其否定是全称命题,否定为:x,y0,x2+y22xy.答案:x,y0,x2+y2m(x2+1),q:x0R,+2x0-m-1=0,且pq为真,求实数m的取值范围.【解析】2xm(x2+1)可化为mx2-2x+mm(x2+1)为真,则mx2-2x+m0对任意的xR恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x0,显然不恒成立;当m0时,有m0,=4-4m20,所以m-1.若q:x0R,+2x0-m-1=0为真,则方程+2x0-m-1=0有实根,所以=4+4
6、(m+1)0,所以m-2.又pq为真,故p,q均为真命题.所以m-1且m-2,所以-2m1000,则p为()A.nN,2n1000B.nN,2n1000C.n0N,1000D.n0N,1000”,其他条件不变,结论又如何呢?【解析】选A.将存在量词“”改为全称量词“”,然后否定结论即可,p:nN,2n1000.3.(2014大连高二检测)命题p:x=2且y=3,则p为()A.x2或y3B.x2且y3C.x=2或y3D.x2或y=3【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.【解析】选A.将“且”改为“或”,将x=2与y=3都否定即为原命题的否定,p为:x2或y3.4.下列关于命题p:“
7、x0R,=sinx0”的叙述正确的是()A.p:x0R,sinx0B.p:xR,=sinxC.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“x0R,=sinx0”的否定是p:xR,sinx.当x=0时,=sinx,所以p是真命题,p是假命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.命题“对任意xR,|x-2|+|x-4|3”的否定是.【解析】根据全称命题的否定形式写.答案:存在x0R,|x0-2|+|x0-4|36.(2014兰州高二检测)已知命题p:“x1,2,x2-a0”,命题q:“x0R,+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是_.
8、【解析】命题p:“x1,2,x2-a0”为真,则ax2,x1,2恒成立,所以a1;命题q:“x0R,+2ax0+2-a=0”为真,则“4a2-4(2-a)0,即a2+a-20”,解得a-2或a1.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是a|a-2或a=1.答案:a|a-2或a=1【变式训练】已知命题p:x0R,+2ax0+a=0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是.【解析】方法一:若命题p:x0R,+2ax0+a=0是真命题,则=(2a)2-4a0,即a(a-1)0.因为命题p是假命题,所以a(a-1)0,解得0a1.方法二:依题意,命题p:xR,x2+2ax+a0是真命题,则=(2
9、a)2-4a0,即a(a-1)0,解得0a1.答案:(0,1)三、解答题(每小题12分,共24分)7.写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+10.(3)r:等圆的面积相等,周长相等.(4)s:对任意角,都有sin2+cos2=1.【解析】(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是p:“存在实数m0,使得x2+x-m0=0没有实数根”.注意到当=1+4m00时,即m00”;利用配方法可以证得q是一个真命题.(3)这一命题的否定形式是r:“存在一对等圆,其面
10、积不相等或周长不相等”,由平面几何知识知r是一个假命题.(4)这一命题的否定形式是s:“存在0R,有sin20+cos201”.由于命题s是真命题,所以s是假命题.8.(2014汕头高二检测)设p:“x0R,-ax0+1=0”,q:“函数y=x2-2ax+a2+1在x0,+)上的值域为1,+)”,若“pq”是假命题,求实数a的取值范围.【解析】由-ax0+1=0有实根,得=a2-40a2或a-2.因此命题p为真命题的范围是a2或a-2.由函数y=x2-2ax+a2+1在x0,+)的值域为1,+),得a0.因此命题q为真命题的范围是a0.根据pq为假命题知:p,q均是假命题,p为假命题对应的范围是-2a2,q为假命题对应的范围是a0.这样得到二者均为假命题的范围就是-2a0.
