1、课时提升作业(十八)变化率问题导数的概念(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.物体自由落体运动方程为s(t)=gt2,若=g=9.8m/s,那么下面说法正确的是()A.9.8m/s是01s这段时间内的平均速度B.9.8m/s是从1s到(1+t)s这段时间内的速度C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的速度D.9.8m/s是物体从1s到(1+t)s这段时间内的平均速度【解析】选C.=g=9.8m/s,表示物体自由落体在t=1s时的即时速度.故选C.2.某物体的运动方程为s=5-2t2,则该物体在时间1,1+d上的平均速度为()A.2d+4B.-2d+4C.2d-4D.-2d-
2、4【解析】选D.平均速度为=-4-2d.故选D.【补偿训练】(2015郑州高二检测)已知f(x)=-x2+10,则f(x)在x=处的瞬时变化率是()A.3B.-3C.2D.-2【解题指南】表示出x=处的平均变化率后取极限得到瞬时变化率.【解析】选B.因为=-x-3,所以=-3.3.一物体的运动方程是s=at2(a为常数),则该物体在t=t0时的瞬时速度是()A.at0B.-at0C.at0D.2at0【解析】选A.因为=at+at0,所以=at0.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2015蚌埠高二检测)已知函数f(x)=ax+b在区间1,8上的平均变化率为3,则实数a=.【解析】平均变化率
3、=a=3.答案:35.物体沿直线运动过程中,位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t.我们计算在t时刻的附近区间t,t+t内的平均速度=,当t趋近于0时,平均速度趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到t时刻的瞬时速度为.【解析】因为物体沿直线运动过程中,位移s与时间t的关系式是s(t)=3t2+t,所以在t时刻的附近区间t,t+t内的平均速度=6t+1+3t.所以s(t)=6t+1.答案:6t+1+3t6t+1三、解答题6.(10分)(2015安阳高二检测)已知函数y=f(x)=3x2+2,求函数在x0=1,2,3附近x取时的平均变化率k1,k2,k3,并比较其大小.【解题指南】分别求出平
4、均变化率后比较大小.【解析】函数y=f(x)=3x2+2在区间x0,x0+x上的平均变化率为=6x0+3x.函数在x0,x0+x上的平均变化率为6x0+3x.当x0=1,x=时,函数在1,1.5的平均变化率k1=61+30.5=7.5;当x0=2,x=时,函数在2,2.5上的平均变化率k2=62+30.5=13.5;当x0=3,x=时,函数在3,3.5上的平均变化率为k3=63+30.5=19.5;所以k1k2k3.【补偿训练】已知自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=f(t)=gt2,计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒各段时间内的平均速度(g=9.8m/s2)
5、.【解题指南】先求出s,再求出=,即为各段时间内的平均速度.【解析】设t=(t+d)-t指时间改变量,s=f(t+d)-f(t)指位移改变量.则s=f(t+d)-f(t)=g(t+d)2-gt2=gtd+gd2,=gt+gd,所以t从3秒到3.1秒的平均速度=29.89(m/s);t从3秒到3.001秒的平均速度=29.4049(m/s);t从3秒到3.0001秒的平均速度=29.40049(m/s).(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015太原高二检测)物体的运动方程是S=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为()A.t=1B.t=2C.t=3D.t=
6、4【解析】选B.=-8t+16,令-8t+16=0,得t=2.2.设f(x)在x=x0处可导,则等于()A.-f(x0)B.f(-x0)C.f(x0)D.2f(x0)【解析】选A.=-=-=-f(x0).二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图所示,水波的半径以1m/s的速度向外扩张,当半径为5m时,这水波面的圆面积的膨胀率是m2/s.【解题指南】求出在时刻t的水波面积,进而求出在时刻t0的瞬时膨胀率,代入半径求要求的膨胀率.【解析】因为水波的半径以v=1m/s的速度向外扩张,水波面积S=r2=(vt)2=t2,所以水波面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S(t0)=2t.当半径为5m时,t=5s,
7、所以S(5)=25=10,即半径为5m时,这水波面积的膨胀率是10,答案:104.已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=时刻的速度为7.【解析】=(6t+12t-5)=12t-5=7,t=1.答案:1三、解答题5.(10分)(2015徐州高二检测)若一物体运动方程如下:(位移:m,时间:s)s=求:(1)物体在t3,5内的平均速度.(2)物体的初速度v0.(3)物体在t=1时的瞬时速度.【解析】(1)因为物体在t3,5内的时间变化量为t=5-3=2,物体在t3,5内的位移变化量为s=352+2-(332+2)=3(52-32)=48,所以物体在t3,5上的平均速度为=24(m/s).(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.因为物体在t=0附近的平均变化率为=3t-18.所以物体在t=0处的瞬时变化率为=(3t-18)=-18.即物体的初速度为-18m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.因为物体在t=1附近的平均变化率为=3t-12.所以物体在t=1处的瞬时变化率为=(3t-12)=-12.即物体在t=1时的速度为-12m/s.
