1、课时提升作业(二十)几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则函数f(x)的导函数f(x)的大致图象为()【解析】选A.因为f(x)=ex,所以f(x)=ex,底数e大于1的指数函数是R上的增函数,故选A.2.(2015泉州高二检测)函数f(x)=(2x)2的导数是()A.f(x)=4xB.f(x)=42xC.f(x)=82xD.f(x)=16x【解析】选C.因为f(x)=42x2,所以f(x)=82x.3.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为()A.B.C.
2、D.【解析】选B.s=.当t=4时,s=.4.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n=()A.1B.3C.2D.4【解析】选B.y=nxn-1,因为y|x=2=12,所以n2n-1=12.检验知n=3时成立,所以选B.5.(2015惠州高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),nN,则f2015(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解题指南】利用基本初等函数的导数公式求出前4个函数,寻找规律求f2015(x).【解析】选D.由题意,f1=cosx,f2=-sinx,f3=-cosx,f4=sinx
3、,f2015(x)=-cosx.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015南京高二检测)曲线y=cosx在点A,处的切线方程为.【解析】因为y=(cosx)=-sinx,所以y=-sin=-,所以在点A处的切线方程为y-=-,即x+2y-=0.答案:x+2y-=07.曲线y=在其上一点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标为.【解析】y=-=-4,x=,点P的坐标为,.答案:或8.(2015汉中高二检测)设函数f(x)=logax,f(1)=-1,则a=.【解析】因为f(x)=,所以f(1)=-1.所以lna=-1.所以a=.答案:【补偿训练】函数f(x)=(aR),若其导数过点(2,4)
4、,则a的值为.【解析】因为f(x)=,所以f(x)=-,又导数过点(2,4),所以-=4,所以a=-16.答案:-16三、解答题(每小题10分,共20分)9.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.【解题指南】表示出过点(a,)的直线,用a表示出三角形的面积,解方程求a.【解析】因为y=-,所以y|x=a=-,所以在点(a,)处的切线方程为y-=-(x-a).令x=0,得y=,令y=0,得x=3a,所以3a=18,解得a=64.10.(2015榆林高二检测)已知曲线C:y=x3,(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程.(2)在(1)中的切线与曲线C是
5、否还有其他公共点?【解析】(1)因为y=3x2,所以切线斜率k=3,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由所以(x-1)(x2+x-2)=0,所以x1=1,x2=-2,所以公共点为(1,1)及(-2,-8),即其他公共点为(-2,-8).【补偿训练】求过曲线y=sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程.【解析】因为y=sinx,所以y=(sinx)=cosx.所以y=cos=,所以经过这点的切线的斜率为,从而可知适合题意的直线的斜率为-.所以由点斜式得适合题意的直线方程为y-=-(x-),即x+y-=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.
6、(2015青岛高二检测)若曲线y=x2在点(a,a2)(a0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于()A.2B.4C.D.【解析】选A.y=2x,则切线的斜率为2a,所以曲线y=x2在点(a,a2)(a0)处的切线方程为y-a2=2a(x-a),即y=2ax-a2.令x=0得y=-a2,令y=0得x=,所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为a2=2,解得a=2,故选A.2.给出下列函数:f(x)=;f(x)=2x;f(x)=log2x;f(x)=sinx.则满足关系式ff-ff的函数的序号是()A.B.C.D.【解题指南】分别求出相应的导数值,利用函数的单调性比较大小.【解析
7、】选C.f(x)=,所以f=,f-f=,f=,所以ff-ff;f(x)=2xln20,导函数为单调增函数,所以ff-ff;f(x)=cosx,所以f=cos,f-f=sin-sin,f=cos,因为cosf-ff.【补偿训练】已知f(x)=lnx(x0),f(x)的导数是f(x),若a=f(7),b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.abcC.bcaD.bac【解析】选B.f(x)=,a=f(7)=ln7,b=f=2,c=f=3,因为ln7ln e2=2,所以ab0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.【解题指南】利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一
8、曲线的斜率,进而求得切点坐标.【解析】由f(x)=ex,得f(0)=e0=1.又y=ex在(0,1)处的切线与y=(x0)上点P处的切线垂直,所以点P处的切线斜率为-1.又y=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=1,由x0,得x0=1,y0=1,所以点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015西安高二检测)设曲线y=上有点P(x1,y1),与曲线切于点P的切线为m,若直线n过点P且与m垂直,则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴于点Q,又作PRx轴于R,求RQ的长.【解析】依题意,y=,因为n与m垂直,所以n的斜率为-2,所以直线n的方程
9、为y-y1=-2(x-x1).令y=0,则-y1=-2(xQ-x1),所以xQ=+x1,容易知道xR=x1,于是,|RQ|=|xQ-xR|=.6.已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.【解析】由于y=sinx,y=cosx,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),所以两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为k1=y=cosx0,k2=y=-sinx0,若使两条切线互相垂直,必须cosx0(-sinx0)=-1,即sinx0cosx0=1,也就是sin 2x0=2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
