1、课堂导学三点剖析一、正态分布的性质【例1】 正态总体N（0，1）的概率密度函数是f(x)=.xR.(1)求证：f(x)是偶函数；（2）求f(x)的最大值；(3)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性.解：（1）对于任意的xR，f(-x)=f(x)f(x)是偶函数.(2)令z=,当x=0时，z=0，e z=1,e z是关于z的增函数，当x0时，z0,e z1,当x=0,即z=0时，取得最小值.当x=0时，f(x)=取得最大值.(3)任取x10,x20,且x1x2,有x12x22,-,即f(x1)f(x2)它表明当x0时，f(x)是递增的.同理可得，对于任取的x10,x20,且x1x2，有f(x1
2、)f(x2),即当x0时，f(x)是递减的.二、利用正态分布的密度函数求概率【例2】 设服从N（0，1），求下列各式的值：（1）P（2.35);(2)P(-1.24);(3)P(|1.54).分析：因为服从标准正态分布，所以可借助于标准正态分布表，查出其值，由于表中只列出x00,P(x0)=（x0)的情形，其他情形需用公式：（-x)=1-(x);P(ab)=（b)-(a);和P（x0)=1-P(x0)进行转化.解析：（1）P(2.35)=1-P(2.35)=1-(2.35)=1-0.990 6=0.009 4;(2)P(-1.24)=(-1.24)=1-(1.24)=1-0.892 5=0.1
3、07 5;(3)P(|1.54)=P(-1.541.54)=(1.54)-(-1.54)=2(1.54)-1=0.876 4.温馨提示 对于标准正态分布N（0，1）来说，总体在区间（x1,x2)内取值的概率P（x1x2)=(x2)-(x1)的几何意义是：介于直线x=x1和x=x2间，x轴上方，总体密度曲线下方的阴影部分面积.三、正态分布的应用【例3】 从南部某地乘车前往北区火车站搭汽车有两条线路可走，第一条线路穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位为分）服从正态分布N(50,100)，第二条线路沿环城路走，线路较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N（60，16），试计算(1)若有
4、70分钟时间可用，应走哪条线路？（2）若有65分钟时间可用，又应走哪条线路？解析：（1）有70分钟时走第一条线路及时赶到的概率为：P（70)=()=(2)=0.977 2.走第二条线路及时赶到的概率为P（70）=()=(2.5)=0.993 8.所以，应走第二条线路.（2）只有65分钟可用时，走第一条线路及时赶到的概率为：P(65)=()=(1.5)=0.933 2.走第二条线路及时赶到的概率为P（65）=()=(1.25)=0.894 4.所以，应走第一条线路.温馨提示 正态分布是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差，人的生理特征的某些数据，学生的考试成绩等，它广泛存在于自然现象及科学技
5、术的许多领域中，在实际应用中，当给定一个标准的正态分布N（0，1）以后，设P（x）=P,结合标准的正态分布表可求两个方面的问题：一是已知x的值求概率P；二是已知概率P的值求x的值.若N(,2)，则N(0,1),从而把一般的正态分布转化为标准的正态分布.各个击破【类题演练1】下列函数是正态密度函数的是( )A.f(x)= B.f(x)=C.f(x)= D.f(x)=思路分析：对照正态密度函数f(x)=易知B选项正确.此时=1，=0.答案：B【变式提升1】把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是 ( )A.曲线C2仍是正态曲线B.曲线C1，C2的最高点
6、的纵坐标相等C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比的曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2D.以曲线C2为概率密度设曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2思路分析：正态密度函数为f(x)= ,正态曲线对称轴为x=,曲线最高点纵坐标为f()=,所以曲线C1向右平移2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f()没变，从而没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即变了，因为曲线向右平移2个单位，所以均值增大2个单位.答案：C【类题演练2】若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的，如果某地成年男子的身高N(175,62)(单位：
7、cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？解析：设该地公共汽车门的高度应设计为x cm,则根据题意可知：P（x)1%,由于N(175,62)，所以P(x)=1-P(x)=1-()0.01;也就是：()0.99,查表可知：2.33;解得x188.98，即该地公共汽车门至少应设计为189 cm高.【变式提升2】某镇农民年平均收入服从=500元，=20元的正态分布，（1）求此镇农民年平均收入在500元520元间人数的百分比；（2）如果要使农民的年收入在(-a,+a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大？解析：设表示此镇农民的年收入，由已知N（500，202）.（1）P（500520)=()-()
8、=（1）-（0）=0.341 3.这说明此镇农民平均收入在500元520元间的人数约为34%.（2）令P(-a+a)=()-(-)0.95,则有()-1-()0.95,有2()-10.95，所以()0.975，由于(x)是增函数，故查表得()1.96,所以a39.2，因此要使农民的平均收入在（500-a,500+a）内的概率不小于0.95，a不能小于39.2.【类题演练3】某班有48位同学，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？解析：设x表示这个班的数学成绩，则x服从N（80，102），P（80x90）=()-()=(1)-(0
9、),查标准正态分布表得(1)=0.841 3,(0)=0.500 0,故P(80x90)=0.841 3-0.500 0=0.341 3.所以从理论上讲在80分至90分之间有480.341 3=16.382 416(人).【变式提升3】已知测量误差N(7.5,100),(单位cm),则必须进行多少次测量才能使至少一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9?解析：设测量的绝对误差不超过10 cm的概率为p，则p=P(|10)=()-()=(0.25)-(-1.75)=(0.25)-1-(1.75)=(0.25)+(1.75)-1=0.598 7+0.959 9-1=0.558 6.设表示n次测量中绝对误差不超过10 cm的次数，则B(n,p),由P(1)0.9得1-P（=0）0.9,即1-0.558 60(1-0.558 6)n0.9,(0.441 6)n0.1.解得n=2.815;所以至少要进行3次测量.
