1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线2理解平行公理(公理4)和等角定理(重点)3会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角(难点、易错点)基础初探教材整理1空间直线的位置关系阅读教材P44P45“探究”以上的内容，完成下列问题1异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(2)画法：(通常用平面衬托)图21102空间两条直线的位置关系判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则
2、必相交或平行()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()【解析】(1)错误空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面(2)正确因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面(3)错误过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线(4)错误和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2公理4及等角定理阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容，完成下列问题1公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递
3、性符号表述：ac.2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补已知ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于()A30B30或150C150D以上结论都不对【解析】因为ABPQ，BCQR，所以PQR与ABC相等或互补因为ABC30，所以PQR30或150.【答案】B教材整理3异面直线所成的角阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题1定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)2异面直线所成的角的取值范围：0_90.3当90时，a与b互相垂直，记作ab
4、.如图2111，正方体ABCDABCD中异面直线AB与BC所成的角为_异面直线AD与BC所成的角为_图2111【解析】ABAB，ABC为AB与BC所成的角，又ABC90，AB与BC所成的角为90.BCAD，DAD为AD与BC所成的角，因为DAD45，故AD与BC所成的角为45.【答案】9045小组合作型空间两直线位置关系的判定如图2112，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图2112直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据
5、定义判断【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”同理，直线AB与直线B1C “异面”所以都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”【答案】平行异面相交异面1判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面再练一题1(1)若a、b是异面
6、直线，b、c是异面直线，则()AacBa、c是异面直线Ca、c相交Da、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足ab，a、c异面，则b与c() A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线【解析】(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面(2)若ab，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知ac.【答案】(1)D(2)C公理4、等角定理的应用如图2113，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点图2113(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.【
7、精彩点拨】(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明【自主解答】(1)ABCDA1B1C1D1为正方体ADA1D1，且ADA1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，AMA1M1且AMA1M1，四边形AMM1A1为平行四边形，M1MAA1且M1MAA1.又AA1BB1且AA1BB1，MM1BB1且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BM
8、CB1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1，BMCB1M1C1.1空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行2求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似再练一题2如图2114，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点图2114求证：(1)四边形MNA
9、1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.【证明】(1)如图，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均为锐角，DNMD1A1C1.探究共研型求异面直线所成的角探究1已知直线a，b是两条异面直线，如图2115，如何作出这两条异面直线所成的角？图2115【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线aa，bb，则两条相交直线a，b所成的锐
10、角(或直角)角即两条异面直线a，b所成的角探究2异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上如图2116，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，求异面直线AD、BC所成角的大小图2116【精彩点拨】根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决【自主解答】如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则EMF或其补
11、角就是异面直线AD、BC所成的角因为ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，过点M作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60，则EMF2EMH120.所以异面直线AD、BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60.求两异面直线所成的角的三个步骤1作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角2证：证明作出的角就是要求的角3计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角的取值的范围是0 90.再练一题3在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角【解】如图，连接BD、A1D，A
12、BCDA1B1C1D1是正方体，DD1綊BB1，四边形DBB1D1为平行四边形，BD B1D1.A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，A1BBDA1D，A1BD是正三角形，A1BD60.A1BD是锐角，A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，A1B与B1D1所成的角为60.1对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行B相交C垂直D互为异面直线【解析】不论l，l还是l与相交，内都有直线m使得ml.【答案】C2下列命题中，正确的结论有()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直
13、角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A1个B2个C3个D4个【解析】由公理4及等角定理知，只有正确【答案】B3已知角和角的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若45，则_.【解析】由等角定理可知135.【答案】1354在长方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有_. 【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.【答案】DC，BC，D1C1，B1C15如图2117所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角图2117【解】取AC的中点G，连接EG，FG，则FGCD，EGAB，所以FEG即为EF与AB所成的角，且FGCD，EGAB，所以FGEG.又由ABCD得FGEG，所以FEG45.故EF和AB所成的角为45.
