1、单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个()A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对【解析】选A.从俯视图来看，上、下底面都是正方形，大小不一样，可以判断是棱台.2.(2016天水高一检测)表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为()A.B.C.2D.1【解析】选C.由题意得，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=2rl=2r，又该圆锥的侧面积为S1=rl=2r2，底面积为S2=r2，所以表面积为S=S1+S2=3r
2、2=3r=1，所以该圆锥的底面直径为2.3.正方体内切球与外接球体积之比为()A.1B.13C.13D.19【解析】选C.设正方体棱长为a，内切球半径为R1，外接球半径为R2.R1=，R2=a，V内V外=13，故选C.4.(2016海口高二检测)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为12cm3.其三视图中的俯视图(如图所示)，则其侧视图的面积是()A.4cm2B.2cm2C.8cm2D.4cm2【解析】选A.设正六棱柱的底面边长是a，那么底面面积是S=a2(cm2)，那么体积V=a3=12(cm3)，所以a3=8，解得a=2，那么侧视图是矩形，矩形的高就是俯视图的宽等于2cm，所以侧视图的
3、面积是S=22=4(cm2).5.过棱柱不相邻两条侧棱的截面是()A.矩形B.正方形C.梯形D.平行四边形【解析】选D.因为棱柱的侧棱平行且相等，故过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.6.(2016广州高一检测)三棱锥的高为3，侧棱长均相等且为2，底面是等边三角形，则这个三棱锥的体积为()A.B.C.D.【解析】选D.如图所示三棱锥S-ABC，则高SH为3，侧棱SA长为2，在RtSAH中，AH=，延长AH交BC于D，由题意知D为BC中点，H为ABC重心，则AD=.因此底面三角形的边长为3，所以该三棱锥的体积为V=323=.7.若一个水平放置的圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧
4、面积与全面积之比为()A.B.C.D.【解析】选B.设圆柱的底面半径为r，高为h，所以=，所以h=2r，所以S侧=2rh=4r2，S全=4r2+2r2，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选B.8.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.R3B.R3C.R3D.R3【解析】选A.依题意，得圆锥的底面周长为R，母线长为R，则底面半径为，高为R，所以圆锥的体积为R=R3.9.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是()A.4，8B.4，C.4(+1)，D.8，8【解析】选B.因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其正视图为
5、图中的PEF，如图.由该四棱锥的正视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=.所以该四棱锥侧面积S=42=4，体积V=222=.10.(2016济宁高一检测)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A.B.C.2D.1【解析】选A.球心在平面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，所以BAC=90，底面ABC外接圆的圆心N位于BC的中点，A1B1C1的外心M在C1B1中点上.设正方形BCC1B1的边长为x，则在RtOMC1中，OM=，MC1=，OC1=R=
6、1，所以+=1，即x=，所以AB=AC=1，所以侧面ABB1A1的面积为1=，故应选A.11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，则Q为底面ABCD上的动点(点P，Q可以重合)，则MP+PQ的最小值为()A.B.C.D.1【解题指南】画出图形，利用折叠与展开法则形成同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值.【解析】选C.由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，
7、易知B1AC1=C1AC=30，AM=可知MQAC时，MP+PQ的最小值，最小值为sin 60=.12.(2015湖南高考)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为()A.B.C.D.【解析】选A.分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为a，b，h，长方体上底面截圆锥的截面半径为x，对角面截面图如图所示，则有=h=2-2x，所以长方体的体积为abhh=h=2xx(2-2x)2=，当且仅当x=2-2x即x=时，等号成立，所以利用率为=.二、填空题(本大
8、题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2(224)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(222+244)-222=72(cm2).答案:723214.(2016四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=21=,高为1,所以该几何体的体积V=Sh=1=.答案:【补偿训练】如
9、图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是8，则a=_.【解析】由题意知三棱柱的底面是一个正三角形，一条边上的高是a，得到三棱柱的底面边长是a，所以底面面积是aa=a2，三棱柱的高为2，所以三棱柱的体积是a22=8，解得a=2.答案：215.A，B，C，D四点在半径为的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是_.【解析】根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积为435-4435=20.答案：2016.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正视图
10、是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是_.【解析】此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧=rl=22=4，S底=22=4，SSAB=42=4，所以S表=+4L=2(1+)+4.答案：2(1+)+4三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的体积和表面积.【解析】由三视图易知，.Com该正三棱柱的形状如图所示：且AA=BB=CC=2mm，正三角形ABC和正三角形ABC的高为2mm，所以正三角形ABC的边长为4mm.所以该三棱柱的表面积为S
11、=342+242=24+8(mm2)，V=S底AA=422=8(mm3).【补偿训练】如图，已知几何体的三视图(单位：cm).(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法).(2)求这个几何体的表面积及体积.【解析】(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=522+22+2()2=22+4(cm2)，所求几何体的体积V=23+()22=10(cm3).18.(12分)(2016刑台高二检测)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，
12、3)，将四边形ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.【解析】过C作y轴的垂线交y轴于E，则三角形DCE是直角三角形，四边形ABCE是直角梯形，四边形ABCD绕y轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体，易求得AB=1，BC=，CE=2，AE=1，ED=2，DC=2，所得旋转体的表面积是S=12+(1+2)+22=(7+1)，体积为V=42+(1+2+4)1=5.19.(12分)(2016保定高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V.(2)求该几何体的侧面
13、积S.【解析】(1)此几何体是四棱锥，底面就是俯视图的底面，高是正视图的高，所以此四棱锥的体积是V=864=64.(2)根据图形，锥体的高，侧面的高，还有射影构成直角三角形，所以侧面的高是h1=5，h2=4，所以侧面积是S=852+642=40+24.20.(12分)如图，BD是正方形ABCD的对角线，弧的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转，求图中，三部分旋转所得旋转体的体积之比.【解析】把图中，三部分分别绕直线AB旋转所得旋转体体积记为V，V，V，并设正方形的边长为a，因此，V=a2a=a3，V=a3-V1=a3，V=a2a-V-V=a3，所以VVV=111.21.(12分)
14、(2016成都高一检测)如图所示，已知三棱柱ABC-ABC，侧面BBCC的面积是S，点A到侧面BBCC的距离是a，求证：三棱柱ABC-ABC的体积V=Sa.【证明】如图所示，连接AB，AC，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥.设所求体积为V，显然三棱锥A-ABC的体积是V，而四棱锥A-BCCB的体积为Sa，故有V+Sa=V，所以V=Sa.22.(12分)(2016上海高二检测)如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等.铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.(单位：mm，加工中不计损失).(1)若钉身
15、高度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积.(2)若每块钢板的厚度为12mm，求钉身的长度(结果精确到1 mm).【解析】(1)设钉身的高为h，钉身的底面半径为r，钉帽的底面半径为R，由题意可知：圆柱的高h=2R=38mm，圆柱的侧面积S1=2rh=760，半球的表面积S2=4R2+R2=1083mm2，所以铆钉的表面积S=S1+S2=760+1083=1843(mm2).(2)V1=r2h1=10024=2400(mm3)，V2=R3=193=(mm3)，设钉身长度为l，则V3=r2l=100l，由于V3=V1+V2，所以2400+=100l，解得l70mm.答：钉身的表面积为1843mm2，钉身的长度约为70 mm.
