1、3.1.2复数的几何意义学习目标1理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系2掌握实轴、虚轴、模等概念3掌握用向量的模来表示复数的模的方法知识链接1下列命题中不正确的有_(1)实数可以判定相等或不相等；(2)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数能进行开偶次方根运算；答案(5)2实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴由复数的定义可知任何一个复数zabi(a，bR)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答案由于复数集与平面直角坐标系中的点集
2、可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型预习导引1复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数与点、向量间的对应复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)；复数zabi(a，bR)平面向量(a，b)2复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|.要点一复数与复平面内的点例1在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，
3、分别求实数m的取值范围解复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8，虚部为m23m10.(1)由题意得m22m80.解得m2或m4.(2)由题意，2m4.(3)由题意，(m22m8)(m23m10)0，2m4或5m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1，或m，所以当m1，或m时，复数z对应的点在直线xy40上要点二复数的模及其应用例2已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆
4、心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合由图可知：a，|z1|z2|.要点三复数的模的几何意义例3设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|2；(2)|z|3.解法一(1)复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆(2)满足条件|z|3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部法二(1)设zxyi(x，yR)，(1)|z|2，x2y24，点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆(2)|z|3，x2y29.点Z的集
5、合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部规律方法例3的法一是根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状法二是利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法跟踪演练3已知aR，则复数z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？解a22a4(a1)233，(a22a2)(a1)211，z的实部为正数，虚部为负数，复数z所对应的点在第四象限设zxyi(x，yR)，则消去a22a，得yx2(x3)，复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为yx2(x3)1在复平面内，复数zi2i2对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限
6、 D第四象限答案B解析zi2i22i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限2当0m1时，z(m1)(m1)i对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析0m0，1m10，故对应的点在第四象限内3在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为()A2i B2i C12i D12i答案B解析A(1,2)关于直线yx的对称点B(2,1)，向量对应的复数为2i.4在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解之得m9.1复数的几何意义
7、有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、基础达标1复数zi3对应的点在复平面第几象限()A一 B二 C三 D四答案D解析由i21，zi，对应点坐标为(，1)2当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案D解析复数z在复平面内对应的点为Z(3m2，m1)由m0，m10.所以点Z位于第四象限故选D.3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()
8、A48i B82i C24i D4i答案C解析A(6,5)，B(2,3)，C为AB的中点，C(2,4)，点C对应的复数为24i，故选C.4已知复数zabi(a、bR)，当a0时，复平面内的点z的轨迹是()A实轴 B虚轴 C原点 D原点和虚轴答案B解析a0时，zbi，复平面内的点z的轨迹是虚轴5已知复数zai在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z等于_答案1i解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，由|z|2知，2，解得a1，故a1，所以z1i.6若复数(6k2)(k24)i(kR)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是_答案2k或k2解析z位于第三象限，2k或k2.7
9、复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，求|z|.解复数za21(a1)i是纯虚数，解得a1，z2i.|z|2.二、能力提升8若，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析，cos sin 0.选B.9设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z(cos Btan A)tan Bi对应的点位于复平面的()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案B解析因A、B为锐角三角形的两个内角，所以AB，即AB，sin AcosBcos Btan Acos Bcos Bsin A0，又tan B0，所以点(cos B
10、tan A，tan B)在第二象限，故选B.10复数zlog3ilog3 对应的点位于复平面内的第_象限答案三解析log30，log3 0，zlog3ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限11当实数m为何值时，复数z(m28m15)(m23m28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)解(1)要使点位于第四象限，须，7m3.(2)要使点位于x轴负半轴上，须，m4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m23m280，解得m4或m7.12已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120且复数z的模为2，求复数z.解根据题意可画图形如图所示：设点Z的坐标为(a，b)，|z|2，xOZ120，a1，b，即点Z的坐标为(1，)或(1，)，z1i或z1i.三、探究与创新13试研究方程x25|x|60在复数集上解的个数解设xabi(a，bR)，则原方程可化为a2b2562abi0，或或即x2或x3或xi.故方程在复数集上的解共有6个
