1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1抛物线的焦点是，则其标准方程为()Ax2yBx2yCy2xDy2x【解析】易知，p，焦点在x轴上，开口向左，其方程应为y2x.【答案】D2(2014安徽高考)抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2【解析】yx2，x24y.准线方程为y1.【答案】A3经过点(2,4)的抛物线的标准方程为()Ay28xBx2yCy28x或x2yD无法确定【解析】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(2,4)代入可得p4或p，所以所求抛物线的标准方程为y28x或x2y，故选C.【答案】C4若抛物线
2、y2ax的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为()A(2,0)B(2,0)C(2,0)或(2,0)D(4,0)【解析】由抛物线的定义得，焦点到准线的距离为4，解得a8.当a8时，焦点坐标为(2,0)；当a8时，焦点坐标为(2,0)故选C.【答案】C5若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2B2C4D4【解析】易知椭圆的右焦点为(2,0)，2，即p4.【答案】D二、填空题6已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p_.【解析】由题意知圆的标准方程为(x3)2y216，圆心为(3,0)，半径为4，抛物线的准线为x，由题意知34，p2.【答案】2
3、7动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则P的轨迹方程是_【解析】由题意知，P的轨迹是以点F(2,0)为焦点，直线x20为准线的抛物线，所以p4，故抛物线的方程为y28x.【答案】y28x8对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号 )【解析】抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk
4、.若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足【答案】三、解答题9若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标【解】由抛物线定义，焦点为F，则准线为x.由题意，设M到准线的距离为|MN|，则|MN|MF|10，即(9)10.p2.故抛物线方程为y24x，将M(9，y)代入y24x，解得y6，M(9,6)或M(9，6)10若动圆M与圆C：(x2)2y21外切，又与直线x10相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【导学号：26160056】【解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r1.两
5、圆外切，|MC|R1.又动圆M与已知直线x10相切圆心M到直线x10的距离dR.|MC|d1，即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x20的距离由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x20为准线的抛物线，且2，p4，故其方程为y28x.能力提升1抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B.C1 D.【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.【答案】B2已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和到y轴的距离之和的最小值是()A. B.C2 D.1【解析】由题意知，抛物线的
6、焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.【答案】D3如图232所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m.图232【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py得p1.x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y得x6，x0.水面宽|CD|2 m.【答案】24若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离 【导学号：26160057】【解】设抛物线焦点为F，连结AF，BF，如图，抛物线y22x的准线为l：x，过A，B，M分别作AA，BB，MM垂直于l，垂足分别为A，B，M.由抛物线定义，知|AA|FA|，|BB|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理，得|MM|(|AA|BB|)(|FA|FB|)|AB|3，则x1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin1，即M点到y轴的最短距离为1.
