1、2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷B（小学组）一、填空题1（3分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球2（3分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、6元、9元、12元、15元的包装盒一个礼品配一个包装盒，共有 种不同的价格3（3分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，60km，那么甲乙两站的路程是 km4（3分）将，和这6个分
2、数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第 位5（3分）若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有 个6（3分）如图所示的立体图形由10个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为 7（3分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，它们的数字和是31，则最多有 张是卡片“3”8（3分）能同时表示成连续9个、10个和11个非零自然数的和的最小自然数是 二、解答下列各题9如图中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由10图中，ABCD是一个梯形，且ABCD，三角形ABO和
3、三角形OCD的面积分别是16和4，求11长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？12华罗庚爷爷出生于1910年11月12日将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112116316424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由三、解答下列各题13一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明14已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀
4、请赛决赛试卷B（小学组）参考答案与试题解析一、填空题1（3分）在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需要174 个乒乓球【分析】从11开始找出不是17，也不是6的倍数的10个数，然后相加即可【解答】解：符合条件的最小的10个数是：11，13，14，15，16，19，20，21，22，23；所以至少需要11+13+14+15+16+19+20+21+22+23174（个）答：至少需要 174 个乒乓球故答案为：1742（3分）有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价格分别为3元、6元、9元、12元、1
5、5元的包装盒一个礼品配一个包装盒，共有9种不同的价格【分析】根据已知的价格用“列表方法”解答即可【解答】解：包 装 盒 价 格礼品盒价格3691215258111417581114172081114172023111417202326141720232629任意的搭配共有25 种，其中有价格重复的情况，可以组成一个5 元，8 元，11 元，14 元，17 元，20 元，23 元，26 元，29 元，共有9种不同的价格故答案为：93（3分）汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇已知A、B、C的速度分别是每小时90km，80km，
6、60km，那么甲乙两站的路程是425km【分析】根据题意，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇，由此可以求出A与C20分钟（小时）共行：（90+60）50千米，这50千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50（8060）2.5小时，然后根据速度和相遇时间两地之间的路程，列式解答【解答】解：20分钟小时，A与C 20分钟相遇，共行（90+60）50（ 千米），这50 千米即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50（8060）2.5（小时）所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）2.5425（ 千米）答：甲乙两站的
7、路程是425千米故答案为：4254（3分）将，和这6个分数的平均值从小到大排列，则这个平均值排在第5位【分析】先求出这6个分数的平均值，然后通过排列，得出结果【解答】解：（+）6（+）+（+）61+61.59360.2655；0.2655所以这个平均数从小到大排列在第5位故答案为：55（3分）若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有9 个【分析】设符合条件的两位数是两位数 的平方的十位上的数字等于2ab 个位上的数与2b 的十位上的数字之和的个位数字，为 0因为ab的平方只有十位上的数字为0，所以b0然后讨论b取19 时的情况，解决问题【解答】解：设符合条件的两位数是两位数 的平
8、方的十位上的数字等于2ab个位上的数与b2的十位上的数字之和的个位数字，为0因为ab的平方只有十位上的数字为0，所以b0当b取19 时，b2的十位上的数字分别为 0、0、0、1、2、3、4、6、82ab个位上的数字如下：当a为1时，分别为2、4、6、8、0、2、4、6、8；当a为2时，分别为4、8、2、6、0、4、8、2、6；当a为3时，分别为3、6、9、2、5、8、1、4、7；当a为4时，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2；当a为5时，分别为0、0、0、1、2、3、4、6、8；当a为6或7时，分别与1或2时相同；当a为8时，分别为6、2、8、4、0、6、2、8、4；当a为9时，与4相同
9、，分别为8、6、4、2、0、8、6、4、2所以这样的两位数有47，48，49，51，52，53，97，98，99，共9个6（3分）如图所示的立体图形由10个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为34【分析】此题可从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积，然后相加即可【解答】解：从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积分别为：6，6，5，5，6，6总和为6+6+5+5+6+634故答案为：347（3分）数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，从中任意选出8张，它们的数字和是31，则最多有4 张是卡片“3”【分析】假设摸出的8张卡片全是数字“3”，然后运用盈亏问题的解法，
10、进行解答【解答】解：假设摸出的8张卡片全是数字“3”，则其和为3824，与实际的和31相差8，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2和1为了使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在824，因此可用4张卡片“5”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之和正好等于32所以最多可能有4张是卡片“3”答：最多有4 张是卡片“3”故答案为：48（3分）能同时表示成连续9个、10个和11个非零自然数的和的最小自然数是495【分析】设所求的正整数为A，则由题意得：A（p+1）+（p+2）+（p+3）+（p+9）9p
11、+45，A（m+1）+（m+2）+（m+3）+（m+10）10m+55，A（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+9）11n+66，据这三个等式，进行讨论，解决问题【解答】解：设所求的正整数为A，则由题意得：A（p+1）+（p+2）+（p+3）+（p+9）9p+45，A（m+1）+（m+2）+（m+3）+（m+10）10m+55，A（n+1）+（n+2）+（n+3）+（n+9）11n+66，其中p，m，n均为整数由、可得：9p+4510m+55，所以9p10（m+1）由、可得：10m+5511n+66，所以10m11（n+1）因为10与11互质，所以由可知，m是11 的倍数，由可知，m+1是
12、9的倍数，所以m 是11 的倍数，且被9 除的余数为8，于是m的最小值为44，A的最小值为1044+55495答：最小自然数是495故答案为：495二、解答下列各题9如图中有5个由4个11的小正方格组成的不同形状的硬纸板问能用这5个硬纸板拼成右图中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由【分析】先将45的长方形黑白间隔染色，然后再将5个由4个11的小正方格黑白间隔染色，然后结合奇偶性判断即可【解答】解：将五块纸板编号，如图2，除纸板之外，其余4张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而盖住了3个或1个黑格，因此，由4个11的小正方格组成的不同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，
13、与10个黑格不符所以显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的45的长方形10图中，ABCD是一个梯形，且ABCD，三角形ABO和三角形OCD的面积分别是16和4，求【分析】根据ABCD，可得，又有sAODSBCD，所以，因此SBCO8设梯形的高为h，根据三角形的面积公式，推出结果【解答】解：由ABCD，得又有sAODSBCD所以因此SBCO8设梯形的高为h，因为SABC，SDAC所以又因为SABCSABO+SBCD24，SDACSDAC+SAOD12，所以11长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？【分
14、析】要满足条件，L一定是8，12和18的倍数，所以先求出三个数的公倍数，和两两的公倍数，从而得出重叠的段数，然后在根据容斥原理解答即可【解答】解：假设L8，12，1872的K倍，即L72K那么：红线将木棍等分8等份（9个分点），每份长度9K；蓝线将木棍等分12等份（13个分点），每份长度6K；黑线将木棍等分18等份（19个分点），每份长度4K；又知：9K，6K18K，重叠4段；6K，4K12K，重叠6段；9K，4K36K，重叠2段；9K，6K，4K36K，重叠2段由容斥原理二得：一共分割的段数为：（8+12+18）462+228（段）；或总点数为：（9+13+19）573+329（分点），所以
15、共有28段那么，最短段为红线与黑线的距离：L7212华罗庚爷爷出生于1910年11月12日将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112116316424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由【分析】根据合数的概念，很容易判断出16424是合数，然后再判断1163是否是质数，方法见解答【解答】解：16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外，还有2、4等等1163是质数，判断方法是：3521225，3421156，最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163
16、是质数三、解答下列各题13一批货物重13.5吨，每包货物重量不超过350千克，请问：能否用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明【分析】为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多因为35041400，所以每辆车至少装4包每包350千克，每车能装4包如果每包比350千克略少一点，比如349千克，那么每车就只能装4包了此时，每车载重35041400（千克），1350014009900，也就是说，13.5吨货物按最不利的情况，装9车后余900千克，所以余下2辆车可以装在任意一辆车中能用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走
17、【解答】解：一种方案如下：把11辆货车顺序编号为1，2，3，11先把1至8号车装上货物，每车一直装到不超过1.5吨为上限，只要再装一包便超过1.5吨为止，并把这8个最后一包分成两组，每组4包，每组重量不超过35041400千克1.5吨，用9，10 号车可将这两组8包货物运走，这样1至10号车共装运了超过1.5812（吨）货物，还剩下的货物的重量不超过13.5121.5吨，这样可以用11号车把剩下的货物运走答：能用11辆载重为1.5吨的小货车一次运走14已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数【分析】由题目知，两位数虎威要满足：两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，
18、有了这两个限制条件，依次进行试验即可得出结论【解答】解：令虎为X、威为Y，则：题意为：10X+YXYK（K为整数）Y1 （K10）X1 X1，K11 所以虎威11；Y2 （K5）X1 X1，K6 所以虎威12；Y3 （3K10）X3 无解；Y4 （4XK10K）2 X2，K3 所以虎威24；Y5 （K2）X1 X1，K3 所以虎威15；Y6 （3K5）X3 X3，K2 所以虎威36Y7，同上方法讨论无解；Y8，同上方法讨论无解；Y9，同上方法讨论无解；综上所述，有三个满足题目的两位数，即11、12、15、24、36声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:52:58；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第10页（共10页）
