1、12 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1已知线段AB5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2已知线段AB6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些
2、题目适合用几何法呢？如果ABC的A（的余弦值）是确定的，夹A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果ABAC，直接列方程；如图2，如果BABC，那么；如图3，如果CACB，那么代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来图1 图2 图3 例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线yax2bxc（a、b、c是常数，a0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2)
3、（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，P始终与x轴相交；（3）设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况思路点拨1不算不知道，一算真奇妙，原来P在x轴上截得的弦长MN4是定值2等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN和NANM时，点P的纵坐标是相等的图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以yax2所以b0，c0将代入yax2，得解得（舍去了负值）（2
4、）抛物线的解析式为，设点P的坐标为已知A(0, 2)，所以而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中，P始终与x轴相交（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，为定值等腰AMN存在三种情况：如图3，当AMAN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0图2 图3如图4，当MAMN时，在RtAOM中，OA2，AM4，所以OM2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5，当NANM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为图4 图5如图6，当NANM4时，在RtAON中，OA2，AN4，所以ON2此时xOH2所以点P的纵
5、坐标为如图7，当MNMA4时，根据对称性，点P的纵坐标也为图6 图7考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切这是因为：设点P的坐标为已知B(0, 1)，所以而圆心P到直线y1的距离也为，所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中，P始终与直线y1相切例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yax2bxc（a0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的A经过C点，直线l垂直x轴于B点（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析
6、式及顶点坐标；（3）点M是A上一动点（不同于O、B），过点M作A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0t8）秒时恰好使BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值 图 图1 动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高拖动点Q在BC上运动，可以体验到，BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨1从直线BC的解析式可以得到OBC的三角比，为讨论
7、等腰三角形BPQ作铺垫2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高 4第（4）题的PBQ中，B是确定的，夹B的两条边可以用含t的式子表示分三种情况讨论等腰三角形图文解析（1）直线BC的解析式为（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设yax(x10)代入点C，得解得所以抛物线的顶点为（3）如图2，因为EF切A于M，所以AMEF由AEAE，AOAM，可得RtAOERtAME所以12同理34于是可得EAF90所以51由tan5tan1，得所以MEMFMA2，即mn25 图2（4）在BPQ中，cosB，BP10t，BQt分三种情况讨
8、论等腰三角形BPQ：如图3，当BPBQ时，10tt解得t5如图4，当PBPQ时，解方程，得如图5，当QBQP时，解方程，得图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF为直径的G与x轴相切于点A如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径，所以G与x轴相切于点A图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线yx2(mn)xmn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m2，n1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,1
9、)，求ACB的大小；（3）若m2，ABC是等腰三角形，求n的值动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，ABC保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况思路点拨1抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标2第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比3第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程图文解析（1）由yx2(mn)xmn(xm
10、)(xn)，且mn，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)若m2，n1，那么A(2, 0)，B(1, 0)（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,1)，mn1，OC1若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OAOBm(n)mn1所以OC2OAOB所以所以tan1tan2所以12又因为1与3互余，所以2与3互余所以ACB90图1 图2 图3（3）在ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2(n2)2，BC25n2，AC244n2当ABAC时，解方程(n2)244n2，得（如图2）
11、当CACB时，解方程44n25n2，得n2（如图3），或n2（A、B重合，舍去）当BABC时，解方程(n2)25n2，得（如图4），或（如图5）图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,1)，mn1由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,1)，得AB2(mn)2m22mnn2m2n22，BC2n21，AC2m21所以AB2BC2AC2于是得到RtABC，ACB90第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CACB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(2, 0)，n2例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在AB
12、C中，ACB90，AC4cm，BC3cm如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结PQ，设运动时间为t（s）（0t4），解答下列问题：（1）设APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况还可以体验到，当Q
13、C2HC时，四边形PQPC是菱形思路点拨1在APQ中，A是确定的，夹A的两条边可以用含t的式子表示2四边形PQPC的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，图文解析（1）在RtABC中，AC4，BC3，所以AB5，sinA，cosA作QDAB于D，那么QDAQ sinAt所以SSAPQ当时，S取得最大值，最大值为（2）设PP与AC交于点H，那么PPQC，AHAPcosA如果四边形PQPC为菱形，那么PQPC所以QC2HC解方程，得图3 图4（3）等腰三角形APQ存在三种情况：如图5，当APAQ时，5tt解得如图6，当PAPQ时，解方程，得如图7，当QAQP时，解方程，得图5 图6 图7考
14、点伸展在本题情境下，如果点Q是PPC的重心，求t的值如图8，如果点Q是PPC的重心，那么QCHC解方程，得 图8例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知RtABC中，C90，AC8，BC6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从ABC方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得PQC为等腰三角形若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由（，结果保留一位小数）图1
15、动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况 思路点拨1过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值2线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上3等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长图文解析（1）在RtABC中，AC8，BC6，所以AB10如图2，当点Q在AB上时，作BD/PQ交AC于点D，那么所以AD5所以CD3如图3，当点Q在BC上时，又因为，所以因此PQ/BD所以PQ的最大值就是BD在RtBCD中，BC6，CD3，所以BD所以PQ的最大值是图2 图3 图4（2）如
16、图2，当点Q在AB上时，0t5，SABD15由AQPABD，得所以SSAQP如图3，当点Q在BC上时，5t8，SABC24因为SCQP，所以SSABCSCQP24(t8)2t216t40（3）如图3，当点Q在BC上时，CQ2CP，C90，所以PQC不可能成为等腰三角形当点Q在AB上时，我们先用t表示PQC的三边长：易知CP8t如图2，由QP/BD，得，即所以如图4，作QHAC于H在RtAQH中，QHAQ sinA，AH在RtCQH中，由勾股定理，得CQ分三种情况讨论等腰三角形PQC：（1）当PCPQ时，解方程，得3.4（如图5所示）当QCQP时，整理，得所以(11t40)(t8)0解得3.6（如图6所示），或t8（舍去）当CPCQ时，整理，得解得3.2（如图7所示），或t0（舍去）综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，PQC是等腰三角形图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：如图8，当点Q在AB上时，PQ当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为如图9，当点Q在BC上时，PQ当Q与B重合时，PQ最大，此时t5，PQ的最大值为综上所述，PQ的最大值为图8 图9
