1、专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z131，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BCAC于点C，交半圆于点F.已知AC12，BC9，求AO的长 图Z131 经典母题答图解：如答图，连结OE，设O的半径是R，则OEOBR.在RtACB中，由勾股定理，得AB15.AC切半圆O于点E，OEAC，OEA90C，OEBC，AEOACB，解得R，AOABOB15R.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长【中考变形】图Z1321如图Z132，在RtACB中，ACB90，O是AC边上的一点，以
2、O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：ADOACB；(2)若O的半径为1，求证：ACADBC.证明：(1)AB是O的切线，ODAB，CADO90，AA，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.，ADBCACOD，OD1，ACADBC.22017德州如图Z133，已知RtABC，C90，D为BC的中点，以AC为直径的O交AB于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)若AEEB12，BC6，求AE的长 图Z133 中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，AC是O的直径，AECBEC90，D为BC的中点，EDDCBD，12，来源:Z*xx*k.ComOE
3、OC，34，1324，即OEDACB，ACB90，OED90，DE是O的切线；(2)由(1)知BEC90，在RtBEC与RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA，BC2BEBA，AEEB12，设AEx，则BE2x，BA3x，BC6，622x3x，解得x ，即AE .3如图Z134，已知AB是O的直径，BCAB，连结OC，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是O的切线；(2)若DE2BC，求ADOC的值 图Z134中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.OAOD，DAOADO，来源:学科网CODCOB.又COCO，OD
4、OB，CODCOB(SAS)，CDOCBO90，即ODCD.又点D在O上，直线CD是O的切线；(2)由(1)知，CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD.ADOC，EDAECO，.42016广东如图Z135，O是ABC的外接圆，BC是O的直径，ABC30.过点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：ACFDAE；(2)若SAOC，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是O的切线图Z135中考变形4答图解：(1)证明：BC为O的直径，BAC90，又ABC30，ACB60，又OAOC，OAC为等边三角
5、形，即OACAOC60，AF为O的切线，OAF90，CAFAFC30，DE为O的切线，DBCOBE90，DDEA30，DCAF，DEAAFC，ACFDAE；(2)AOC为等边三角形，SAOCOA2，OA1，BC2，OB1，又DBEO30，BD2，BE，DE3；(3)证明：如答图，过点O作OMEF于点M，OAOB，OAFOBE90，BOEAOF，OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120，OEMOFM30，OEBOEM30，即OE平分BEF，又OBEOME90，OMOB，EF为O的切线52017株洲如图Z136，AB为O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上
6、，且BEEF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CEBF；(2)若BD2，且EAEBEC31，求BCD的面积图Z136中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC，BEEF，FEBF，AEBEBFF，F AEB，C是的中点，AECBEC，AEBAECBEC，AECAEB，AECF，CEBF；(2)DAEDCB，AEDCEB，ADECBE，即，CBDCEB，BCDECB，CBECDB， ，即，来源:Z*xx*k.ComCB2，AD6，AB8，点C为劣弧AB的中点，来源:学#科#网Z#X#X#KOCAB，设垂足为G，则AGBGAB4，CG2，SBCDBDCG222.6如图Z1
7、37，AB是O的直径，C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PBPC12.(1)求证：AC平分BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由 图Z137 中考变形6答图解：(1)证明：如答图，连结OC.PE是O的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC平分BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB3PB.理由：AB是O的直径，ACB90，BACABC90，OBOC，OCBABC，PCBOCB90，PCBPAC，P是公共角，PCBPAC，PC2PBPA
8、，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016枣庄如图Z138，AC是O的直径，BC是O的弦，P是O外一点，连结PA，PB，AB，已知PBAC.(1)求证：PB是O的切线；(2)连结OP，若OPBC，且OP8，O的半径为2，求BC的长图Z138 中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结OB，AC是O的直径，ABC90，CBAC90.OAOB，BACOBA，PBAC，PBAOBA90，即PBOB.PB是O的切线；(2)O的半径为2，OB2，AC4，OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90，ABCPBO， ，即，BC2.82017聊城如图Z139，O是ABC的外接圆，O点在B
9、C边上，BAC的平分线交O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是O的切线；(2)求证：PBDDCA；(3)当AB6，AC8时，求线段PB的长 图Z139 中考变形8答图解：(1)证明：圆心O在BC上，BC是O的直径，来源:学科网BAC90，如答图，连结OD，AD平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90，即ODBC，PDBC，ODPD，OD为O的半径，PD是O的切线；(2)证明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180，ACDABD180，PBDACD，PBDDCA；(3)ABC为直角三角形，BC2AB
10、2AC26282100，BC10，OD垂直平分BC，DBDC，BC为O的直径，BDC90，在RtDBC中，DB2DC2BC2，即2DC2BC2100，DCDB5，PBDDCA， ，即PB.【中考预测】2017黄冈模拟如图Z1310，AB为O的直径，CD与O相切于点C，且ODBC，垂足为F，OD交O于点E.证明：(1)DAEC；(2)OA2ODOF.图Z1310 中考预测答图证明：(1)如答图，连结OC，CD与O相切于点C，OCD90.OCBDCF90.DDCF90，OCBD，OBOC，OCBB，BAEC，DAEC；(2)BAEC，DB，ODBC，BFOOCD90，BOFDOC，即，OA2ODOF.
