1、二项式定理及其应用一、求某项的系数：【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407）（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项（）二、证明组合数等式：练习（12345）来源:例2 计算：1.9975（精确到0.001）师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下例3：（1996年全国高考有这样一道应用题）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22，人均粮食占有量比现在提高10如果人口年增长率为1，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+37n5天后的那一天是星
2、期几？生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n5被7除的余数受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（71）n+1，这样可以运用数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了师：请同学们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同学板演）解：由于23n+37n5=8n+17n5=（71）n+17n+5则 23n+37n5被7除所得余数为6所以对于任意自然数n，经过23n+37n5后的一天是星期日师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77由于76能被1
3、9整除，因此7777-1能被19整除师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决如果把7777改成（1958）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除得到了以上的解法师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理下面我们解一些综合运用的习题例4 求证：3n2n-1（n2）（nN，且n2）师：仍然由同学先谈谈自己的想法生壬：我觉得这道题仍可以用二
4、项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成21注意到： 2n+n2n-1=2n-1（2n）=2n-1（n+2）； n2，右式至少三项；这样，可以得到3n2n-1（n2）（nN，且n2）生癸：根据题设条件有nN，且n2用数学归纳法应当可以证明师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生同学从题设条件nN考虑，想到数学归纳法大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面用二项式定理证明，生同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明（教师请一名同学板演）证明：
5、当n=2时，左式=32=9，右式=22-1（22）=24=8，显然98故不等式成立假设n=k（kN且k2）时，不等式成立，即3k2k-1（k2），则当n=k1时，由于 左式=3k+1=33k32k-1（k2）=3k2k-132k右式=2(k+1)-1（k1）2=2k（k3）=k2k32k，则 左式-右式=（3k2k-132k）-（k2k32k）来源:=3k2k-1-2k2k-1=k2k-10所以 左式有式故当n=k1时，不等式也成立由，不等式对n2，nN都成立师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题：设nN且n1，求证：（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1，a2，an，总有（教师
6、在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第（1）小题，再过3分钟找另一名同学板演第（2）小题）来源:来源:师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1因此得到证明第（2）小题左式与右式也没有直接联系根据题目给出的公式要师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理认真
7、分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视作业1课本习题：P253习题三十一：6，7，10；2课本习题：P256复习参考题九：15（2）3补充题：来源:课堂教学设计说明1开始练习起着承上启下的作用这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯2只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与3学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力w。w-w*k&s%5￥uw。w-w*k&s%5￥u
