1、2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小学高年级组）一、填空题（共8小题，每小题10分，满分80分）1（10分）计算： 2（10分）自动扶梯停止运行时，一个小孩要用90秒钟才能走完60米长的自动扶梯自动扶梯运行时则可用60秒钟将乘客从底端送到顶端若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小孩从扶梯底端到达顶端需要 秒3（10分）两个骑车人在不同的赛道上训练骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人B用直线赛道，其长度为5千米 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进了2个来回那么骑车人A与骑车人B的速度比是（）A1：1.6B：10C3：4D3：404（10分）山洞
2、里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产猴老大来到山洞后将桃子按5：4的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按5：4的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了 个桃子5（10分）如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中有 条线段长度为整数6（10分）从1、2、3、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和则符合条件的取法（）种A6B7C8D97（10分）若一个四位数5ab4是一个数的平方，则 a+b 8（10分）从小明家到游泳池的路上有200棵树在往返的路途中，小明用红丝带系
3、在一些树上做标记，去游泳池的时候，他在第1棵树、第6棵树、第11棵树、上做了标记，每次都隔4棵树标记一棵；返回时，他在遇到的第1棵树、第9棵树、第17棵树、上做了标记，每次都隔7棵树标记一棵则他回到家时，没有被标记的树共有 棵二、解答下列各题（每题10分，满分40分）9（10分）如图，沿正方体XYTZABCD的两个平面BCTX和BDTY切割，将此正方体切成4块请问含有顶点A的那一块占正方体体积的几分之几？10（10分）如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB若AD12，则AG等于多少？11（10分）影院正在放映玩具总动员、冰河世纪、怪物史莱克、齐天大圣四部动漫电影，票价
4、分别为50元、55元、60元、65元来影院的观众至少看一场，至多看两场因时间关系冰河世纪与怪物史莱克不能都观看，若今天必有200人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？12（10分）现有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱ABCA1B1C1各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一个，安装方法共有多少种？三、解答下列题（共2小题，每题15分，满分30分.要求写出详细过程）13（15分）将从1到30的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所有数的乘积B整除则的最小值是多少？14（15分）如图，在边长大于20cm的
5、正方形PQRS中，有一个最大的圆O，若圆周上一点T到PS的距离为8cm，到PQ的距离为9cm则圆O的半径是多少厘米？2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小学高年级组）参考答案与试题解析一、填空题（共8小题，每小题10分，满分80分）1（10分）计算：2013【分析】首先根据平方差公式分别对繁分数的分子和分母进行化简，然后再求解即可【解答】解：2013故答案为：20132（10分）自动扶梯停止运行时，一个小孩要用90秒钟才能走完60米长的自动扶梯自动扶梯运行时则可用60秒钟将乘客从底端送到顶端若小孩在运行的自动扶梯上行走，问小孩从扶梯底端到达顶端需要36秒【分析】
6、把自动扶梯的长度看作单位“1”，则这个小孩走完60米长的自动扶梯所用时间为，自动扶梯将乘客从底端送到顶端用的时间为，那么小孩从扶梯底端到达顶端需要的时间为1（+），解决问题【解答】解：1（+）136（秒）答：小孩从扶梯底端到达顶端需要36秒故答案为：363（10分）两个骑车人在不同的赛道上训练骑车人A用圆形赛道，其直径是1千米；骑车人B用直线赛道，其长度为5千米 骑车人A用10分钟完成3圈，而骑车人B用5分钟行进了2个来回那么骑车人A与骑车人B的速度比是（）A1：1.6B：10C3：4D3：40【分析】通过分析可知；A的速度为：D3101000310300（米/分）B的速度为：50002254
7、000（米/分）其速度比为：A：B1000310：5000225，据此解答即可【解答】解：由题目中的数据，求得A的速度为：D3101000310300（米/分）B的速度为：50002254000（米/分）其速度比为：A：B300：40003：40故选：D4（10分）山洞里有一堆桃子，是三只猴子的共同财产猴老大来到山洞后将桃子按5：4的比例分成两部分，并取走较多的一部分；猴老二来到后，将剩下的桃子又按5：4的比例分成两部分，并取走较多的一部分；剩余的桃子归猴老三已知猴老大比猴老三多拿了29个桃子，则猴老二拿了20个桃子【分析】首先根据题意，设这堆桃子的总量为单位“1”，分别求出三只猴子各拿走的比
8、例，然后根据猴老大比猴老三多拿了29个桃子，求出桃子的总量，进而求出猴老二拿了多少个桃子即可【解答】解：根据题意，设这堆桃子为单位“1”，则猴老大拿走了，则猴老二拿走了：，猴老三拿走了：，则桃子的总数：81（个），候老二拿走的个数：8120（个）答：猴老二拿了20个桃子故答案为：205（10分）如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中有110条线段长度为整数【分析】观察图形可知：第一个三角形2条直角边长度为整数，从第二个三角形开始，每个三角形都有一个边长为1的直角边；则边长为1的线段有：2+99101（条）；前一个三角形的斜边是后一个三角形的一个直角边，根据勾股
9、定理分别求出每个三角形斜边的长，找出开方后为整数的边，再加上101即可求出答案【解答】解：观察图形可知：边长为1的线段有：2+99101（条）；根据勾股定理分别求出每个三角形斜边的长为：、；根据：121，224，329，102100；可知三角形斜边的长中有9个开方后为整数，即三角形斜边的长中有9条边的长度为整数则：101+9110（条）答：构成这100个三角形的所有线段中有110条线段长度为整数故答案为：1106（10分）从1、2、3、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和则符合条件的取法（）种A6B7C8D9【分析】找出1，2，3，7这7个自然数那些是奇数，哪些是偶数，列出符合条件偶
10、数之和等于奇数之和的算式，据此解答即可【解答】解：1，2，3，4，5，6，7中1，3，5，7是奇数，2，4，6是偶数，1+341+563+74+63+52+61+72+61+52+45+72+4+6共7种故选：B7（10分）若一个四位数5ab4是一个数的平方，则 a+b9【分析】7024900，8026400，5000多的一个四位数，应该是70到80之间的一个两位数的平方又它的末位数是4，所以这个两位数的个位只能是2或87225184，符合题意再检验一下782是否符合题意即可【解答】解：72272725184符合题意78278786084，不符合题意舍去所以a1，b8a+b1+89故答案为：9
11、8（10分）从小明家到游泳池的路上有200棵树在往返的路途中，小明用红丝带系在一些树上做标记，去游泳池的时候，他在第1棵树、第6棵树、第11棵树、上做了标记，每次都隔4棵树标记一棵；返回时，他在遇到的第1棵树、第9棵树、第17棵树、上做了标记，每次都隔7棵树标记一棵则他回到家时，没有被标记的树共有140棵【分析】根据题意，可得去游泳池的时候，每5棵树标记一棵，一共标记了200540棵；返回时，每8棵树标记一棵，一共标记了200825棵；重复标记的棵数是200（58）5棵，用40加上25，减去5，求出一共标记了多少棵树，最后用200减去标记的棵树，求出没有被标记的树共有多少棵即可【解答】解：去游
12、泳池的时候，每5棵树标记一棵，一共标记了200540（棵）；返回时，每8棵树标记一棵，一共标记了200825（棵）；重复标记的棵数是200（58）5（棵），200（40+255）20060140（棵）答：没有被标记的树共有140棵故答案为：140二、解答下列各题（每题10分，满分40分）9（10分）如图，沿正方体XYTZABCD的两个平面BCTX和BDTY切割，将此正方体切成4块请问含有顶点A的那一块占正方体体积的几分之几？【分析】沿面BCTX切割，此时含有顶点A的那一块占正方体体积的，再沿BDTY切割，含有顶点A的那一块占沿面BCTX切割后的，由乘法原理可得含有顶点A的那一块占正方体体积为：
13、【解答】解：沿面BCTX切割，此时含有顶点A的那一块占正方体体积的，再沿BDTY切割，含有顶点A的那一块占沿面BCTX切割后的，所以含有顶点A的那一块占正方体体积为：答：含有顶点A的那一块占正方体体积的10（10分）如图，ABCD是一个长方形，从G、F、E引出的小横线都平行于AB若AD12，则AG等于多少？【分析】因为四边形ABCD是一个长方形，所以它的对角线相等，点O是AC，BD的中点，所以点E是线段AD的中点，先根据中位线的性质求出AE的长，再根据EO与AB的比是1：2，FHEO，求出AF的长再根据GRFH，求出AG的长【解答】解：如图：因为ABCD是一个长方形且点G、F、E引出的小横线都
14、平行于AB所以GRFHEOAB所以EOHBAH所以；OH：AHEO：AB因为ABCD是一个长方形所以ACBD2OC2OA2OB2ODAEAB所以，点E是线段AD的中点所以，EO：CDAO：AC1：2所以，OH：HAEO：ABAE：AD1：2所以AF：AEFH：EOAH：AO2：3又AD12所以，AE6，AF4FH：AB1：3又GRFH所以AG：AFAR：AH3：4所以AGAF43答：AG的长是311（10分）影院正在放映玩具总动员、冰河世纪、怪物史莱克、齐天大圣四部动漫电影，票价分别为50元、55元、60元、65元来影院的观众至少看一场，至多看两场因时间关系冰河世纪与怪物史莱克不能都观看，若今
15、天必有200人看电影所花的钱一样多，则影院今天至少接待观众多少人？【分析】这个根据抽屉原理，观众花钱的选择有：50，55，60，65，105，110，115，120，125，总共9种选择，所以观众数为（2001）9+1人【解答】解：根据所给的条件，可以得到（2001）9+11792（人）答：影院今天至少接待观众1792人12（10分）现有四种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱ABCA1B1C1各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不相同，且每种颜色的灯泡都至少有一个，安装方法共有多少种？【分析】根据题意，分3步进行，第一步，为A、B、C三点选灯泡的颜色，由排列数公式可得其
16、情况数目，第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，第三步，为剩下的两个灯选颜色，分类讨论可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，第一步，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；第二步，在A1、B1、C1中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B1、C1，若B1与A同色，则C1只能选B点颜色；若B1与C同色，则C1有A、B处两种颜色可选故为B1、C1选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，则共有A4333216种方法答：安装方法共
17、有216种三、解答下列题（共2小题，每题15分，满分30分.要求写出详细过程）13（15分）将从1到30的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所有数的乘积B整除则的最小值是多少？【分析】首先把大数分解成多个小数的乘积，130内就有了很多相同的小的整数，要求两组数的商的最小值，说明两组数的乘积很接近，把相同的小数均分到两组里面，剩下的单个小数放到其中一个小组中，求出的最小值即可【解答】解：1到30的自然数中质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，合数：422，623，8222，933，1025，12223，1427，1535，162222，18233，2022
18、5，2137，22211，242223，2555，26213，27333，28227，30235，把所有的因数整理一下，一共是：26个2，14个3，7个5，4个7，2个11，2个13，1个17，1个19，1个23，1个29，即30!226314577411213217192329，若使最小，则质因数只要尽量平分即可，则5171923291077205答：的最小值是107720514（15分）如图，在边长大于20cm的正方形PQRS中，有一个最大的圆O，若圆周上一点T到PS的距离为8cm，到PQ的距离为9cm则圆O的半径是多少厘米？【分析】根据题意，作图如下：设圆的半径为x（x10），则TMx8，OMTNx9，在直角三角形TMO中，根据勾股定理有：（x8）2+（x9）2x2，解方程即可【解答】解：如图，设圆的半径为x（x10），则TMx8，OMTNx9，在直角三角形TMO中，根据勾股定理有：（x8）2+（x9）2x2整理得：x234x+1450即（x5）（x29）0得x5（舍去）或x29答：圆O的半径是29厘米声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:17；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02；学号：20913800第12页（共12页）
