1、专题提升(七)二次函数的图象和性质的综合运用【经典母题】用两种不同的图解法求方程x22x50的解(精确到0.1)解：略【思想方法】二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个根，因此我们可以通过解方程ax2bxc0来求抛物线yax2bxc与x轴交点的坐标；反过来，也可以由yax2bxc的图象来求一元二次方程ax2bxc0的解【中考变形】12016烟台二次函数yax2bxc的图象如图Z71所示，下列结论：4acb2；acb；2ab0.其中正确的有 (B)图Z71A BC D【解析】 抛物线与x轴有两个交点，0，b24ac0，4ac
2、b2，故正确；x1时，y0，abc0，acb，故错误；对称轴直线x1，1，又a0，b2a，2ab0，故正确故选B.22016绍兴抛物线yx2bxc(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y0(1x3)有交点，则c的值不可能是 (A)A4 B6C8 D10【解析】 抛物线yx2bxc(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y0(1x3)有交点，解得6c14.故选A.32017株洲如图Z72，二次函数yax2bxc的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(1，0)与点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，2)，小强得到以下结论：0a2；1b0；c1；当|a
3、|b|时x21，以上结论中正确结论的序号为_.【解析】 由A(1，0)，B(0，2)，得ba2，开口向上，a0.对称轴在y轴右侧，0，0，a2，0a2，正确；抛物线与y轴交于点B(0，2)，c2，错误；抛物线图象与x轴交于点A(1，0)，ab20，ba2，0a2，2b0，错误；|a|b|，二次函数yax2bxc的对称轴在y轴的右侧，二次函数yax2bxc的对称轴为x，x221，正确故答案为. 图Z72 图Z7342017天水如图Z73是抛物线y1ax2bxc(a0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2mxn(m0)与抛物线交于A，B两点，下列结
4、论：abc0；方程ax2bxc3有两个相等的实数根；抛物线与x轴的另一个交点是(1，0)；当1x4时，有y2y1；x(axb)ab，其中正确的结论是_.(只填写序号)【解析】 由图象可知：a0，b0，c0，故abc0，错误；观察图象可知，抛物线与直线y3只有一个交点，故方程ax2bxc3有两个相等的实数根，正确；根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)，错误；观察图象可知，当1x4时，有y2y1，错误；x1时，y1有最大值，ax2bxcabc，即x(axb)ab，正确综上所述，正确5如图Z74，已知抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，3)(1)
5、求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线yx上，并写出平移后抛物线的函数表达式图Z74解：(1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，可设抛物线表达式为ya(x1)(x3)，把C(0，3)的坐标代入，得3a3，解得a1，故抛物线表达式为y(x1)(x3)，即yx24x3.yx24x3(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1)；(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为yx2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线yx上62017江西已知抛物线C1：yax24ax5(a0)(1)当a1时，求抛
6、物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值解：(1)当a1时，抛物线表达式为yx24x5(x2)29，对称轴为x2，当y0时，x23或3，即x1或5，抛物线与x轴的交点坐标为(1，0)或(5，0)；(2)抛物线C1表达式为yax24ax5，整理，得yax(x4)5.当ax(x4)0时，y恒定为5，抛物线C1一定经过两个定点(0，5)，(4，5)这两个点连线为y5，将抛物线C1沿y5翻折，得到抛物线
7、C2，开口方向变了，但是对称轴没变，抛物线C2的表达式为yax24ax5；(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x2时，y2或2.当y2时，24a8a5，解得a；当y2时，24a8a5，解得a.a或.72017北京在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx24x3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1x2x3，结合函数的图象，求x1x2x3的取值范围解：(1)由yx24x3得到y(x3)(x1)，C(0，3)，A(1，0)，B(3，0)设直
8、线BC的表达式为ykxb(k0)，则解得直线BC的表达式为yx3；中考变形7答图(2)由yx24x3得到y(x2)21，抛物线yx24x3的对称轴是x2，顶点坐标是(2，1)y1y2，x1x24.令y1，代入yx3，得x4.x1x2x3(如答图)，3x34，即7x1x2x38.82016益阳如图Z75，顶点为A(，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过点B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：OCDOAB；(3)在x轴上找一点P，使得PCD的周长最小，求出P点的坐标 图Z75 中考变形8答图解：(1)抛物线顶点为A(，1)，设抛物
9、线对应的二次函数的表达式为ya(x)21.将原点坐标(0，0)代入，得a，抛物线对应的二次函数的表达式为yx2x；(2)证明：将y0代入yx2x中，得B(2，0)设直线OA对应的一次函数的表达式为ykx，将A(，1)代入，得k，直线OA对应的一次函数的表达式为yx.BDAO，设直线BD对应的一次函数的表达式为yxb，将B(2，0)代入，得b2，直线BD对应的一次函数的表达式为yx2.由得交点D的坐标为(，3)，将x0代入yx2中，得C点的坐标为(0，2)，OA2OC，AB2CD，OB2OD，在OCD与OAB中，OCDOAB(SSS)；(3)如答图，点C关于x轴的对称点C的坐标为(0，2)，连结
10、CD，则CD与x轴的交点即为点P，此时PCD的周长最小过点D作DQy轴，垂足为Q，则PODQ.CPOCDQ，即，解得PO， 点P的坐标为.【中考预测】设抛物线ymx22mx3(m0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)(1)若a1，求m，b的值；(2)若2mn3，求证：抛物线的顶点在直线ymxn上；(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x11x2，且x1x22，试比较p与q的大小解：(1)当a1时，把(1，0)代入ymx22mx3，解得m1，抛物线的表达式为yx22x3.令y0，则由yx22x3，得x1或3，b3；(2)抛物线的对称轴为x1，把x1代入ymx22mx3，得y3m，抛物线的顶点坐标为(1，3m)把x1代入ymxn，得ymnm32m3m，顶点坐标在直线ymxn上；(3)x1x22，x211x1，x11x2，|x21|x11|，P离对称轴较近，当m0时，pq，当m0时，pq.
