1、馨雅资源网 角的平分线的性质（基础）责编：杜少波【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】【高清课堂：388612 角平分线的性质，知识要点】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E
2、，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型
3、例题】类型一、角的平分线的性质1（2015春启东市校级月考）如图，已知BD为ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，求证：PM=PN【思路点拨】根据角平分线的定义可得ABD=CBD，然后利用“边角边”证明ABD和CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得ADB=CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可【答案与解析】证明：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（SAS），ADB=CDB，点P在BD上，PMAD，PNCD，PM=PN【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确
4、定出全等三角形并得到ADB=CDB是解题的关键2、如图, ABC中, C 90, AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 则DEB的周长为( ) A. 4B. 6C.10D. 以上都不对【答案】B；【解析】由角平分线的性质，DCDE，DEB的周长BD DEBE BDDCBEACBEAEBEAB6.【总结升华】将DEB的周长用相等的线段代换是关键.举一反三：【变式】已知：如图，AD是ABC的角平分线，且，则ABD与ACD的面积之比为（ ）A3：2 B C2：3 D.【答案】B；提示：AD是ABC的角平分线，点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又，则ABD与AC
5、D的面积之比为3、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论【思路点拨】利用角平分线的性质证明PDPE，再根据“HL”定理证明OPDOPE，从而得到OPDOPE，DPFEPF再证明DPFEPF，得到结论.【答案与解析】解：DFEF理由如下：OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，PEOB交于点E，PDPE，由HL定理易证OPDOPE，OPDOPE，DPFEPF在DPF与EPF中，DPFEPF，DFEF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判
6、定及性质由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定【高清课堂：388612 角平分线的性质，例3】4、已知，如图，CEAB,BDAC,BC，BFCF.求证：AF为BAC的平分线.【答案与解析】证明： CEAB,BDAC（已知） CDFBEF90 DFCBFE(对顶角相等) BFCF(已知) DFCEFB(AAS) DFEF(全等三角形对应边相等) FEAB，FDAC（已知） 点F在BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF为BAC的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.举一反三：【变式】（2014秋肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PDOA于D，PEOB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG求证：OC是AOB的平分线【答案】证明：在RtPFD和RtPGE中，RtPFDRtPGE（HL），PD=PE，P是OC上一点，PDOA，PEOB，OC是AOB的平分线学魁网
