1、15、三角形总复习【知识精读】 1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定； 4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定。 三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系
2、统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。【分类解析】 1. 三角形内角和定理的应用 例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点。 求证： 证明：由ADBC于D，可得CADABC 又 则 可证 即 说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180间接求得。 2. 三角形三边关系的应用 例2. 已知：如图2，在中，AM是BC边的中线。 求证： 证明：延长AM到D，使MDAM，连接BD 在和中， 在中，而 说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中线的方法，相当于将绕点旋转180构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角
3、形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。 3. 角平分线定理的应用 例3. 如图3，BC90，M是BC的中点，DM平分ADC。 求证：AM平分DAB。 证明：过M作MGAD于G，DM平分ADC，MCDC，MGAD MCMG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等） MCMB，MGMB 而MGAD，MBAB M在ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） DM平分ADC 说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MGMB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 全等三角形的应用 （1）构造
4、全等三角形解决问题 例4. 已知如图4，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角（BDC）为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。 分析：欲证的周长等于2，需证明它等于等边的两边的长，只需证。采用旋转构造全等的方法来解决。 证明：以点D为旋转中心，将顺时针旋转120，点B落在点C的位置，点M落在M点的位置。 得：MBDNCD90 NCD与DCM构成平角，且BMCM，DMDM，NDMNDCCDMNDCBDM1206060 在和中， 的周长 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。 （2）“全
5、等三角形”在综合题中的应用 例5. 如图5，已知：点C是FAE的平分线AC上一点，CEAE，CFAF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB21，AD9，BCDC10。求AC的长。 分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。 解：AC平分FAE，CFAF，CEAE CFCE BEDF 设，则 在中， 在中， 答：AC的长为17。5、中考点拨 例1. 如图，在中，已知B和C的平分线相交于点F，过点F作DEBC，交AB于点D，交A
6、C于点E，若BDCE9，则线段DE的长为（ ） A. 9B. 8C. 7D. 6 分析：初看此题，看到DEDFFE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BDCE9”，就应想一想，DFFE是否与BDCE相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DFFE也就是DE的长了。 解：BF是B的平分线 DBFCBF 又DEBC DFBCBF BDFDFB DFBD 同理，FECE DFFEBDCE9 即DE9 故选A6、题型展示 例1. 已知：如图6，中，ABAC，ACB90，D是AC上一点，AE垂直B
7、D的延长线于E，。 求证：BD平分ABC 分析：要证ABDCBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。 简证：延长AE交BC的延长线于F 易证（ASA或AAS） 于是又不难证得 BD平分BAC 说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。 例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PBAB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件ADBD，DBPDBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问BPD为多少
8、度时，才能达到上述要求？ 分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D为正内一点，P为正外一点，PBAB，ADBD，DBPDBC，求BPD？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。 解：连CD 又 ，即时，才能达到要求。【实战模拟】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为_。 2. 在锐角中，高AD和BE交于H点，且BHAC，则ABC_。 3. 如图所示，D是的ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较BAC与B的大小关系。 4. 如图所示，ABAC，BAC90，M是AC中点，AEB
9、M。 求证：AMBCMD 5. 设三个正数a、b、c满足，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长。【试题答案】 1. 5cm 2. 45 3. 分析：如图所示，BAC是的外角，所以 因为12，所以BAC2 又因为2是的外角，所以2B，问题得证。 答：BACB CD平分ACE，12 BAC1，BAC2 2B，BACB 4. 证明一：过点C作CFAC交AD的延长线于F 又BACACF90 ACAB 又AMMC，MCCF 又3445，CDCD 证明二：过点A作AN平分BAC交BM于N 又AN平分BAC 又ABAC 又 AMCM 说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。 5. 证明：由已知得： 即 是某一三角形三边的长
