1、24.1.3 弧、弦、圆心角5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.答案：B2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.32 B.
2、2 C. D.54思路解析：作OECD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在RtODE中，OD=.在RtOEB中，OB=.OBOD=.答案：C3.半径为R的O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OEOF等于( )A.21 B.32 C.23 D.0思路解析：AB为直径，OE=0.OEOF=0.答案：D10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.一条弦把圆分成13两部分，则弦所对的圆心角为_.思路解析：360=90，弦所对的圆心角为90.答案：902.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是_，弦所对的圆心角是_.思路解析：如图，ODAB，OD=DB=AD.设O
3、D=x，则AD=DB=x.在RtODB中，OD=DB，ODAB,DOB=45.AOB=2DOB=90，OB= x.ABBC=1=2.弦与直径的比为2，弦所对的圆心角为90.答案：2 903.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.图24-1-3-2(1)求证：AC=DB；(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.思路分析：求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.（1）证明：作OEAB于E，EA=EB，EC=ED.EAEC=EBED，即AC=BD.（2）解：连结OA、OC.AB=6 cm，CD
4、=4 cm，AE=AB=3 cm.CE=CD=2 cm.S环=OA2OC2=（OA2OC2）=（AE2OE2）（CE2OE2）=（AE2CE2）=（3222）=5（ cm2）.4.(经典回放)如图24-1-3-3所示，AB是O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图24-1-3-3思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.OA=OB，A=B.又AC=BD，AOCBOD.OC=OD. (1) (2)证法二：如图(2)，过点O作OEAB于E，AE=BE.AC=BD，CE=DE.OC=OD.5.如图24-1-3-4，O的直径AB
5、和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，CEA=30，求CD的长.图24-1-3-4思路分析：如何利用CEA=30是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.解：过O作OFCD于F，连结CO.AE=6 cm，EB=2 cm，AB=8 cm.OA=AB=4（cm），OE=AEAO=2（cm）.在RtOEF中，CEA=30，OF=OE=1（cm）.在RtCFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，CF=(cm).又OFCD，DF=CF.CD=2CF=2（ cm）.6.如图24-1-3-5，AB是O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E，BFCD，垂足为F，我们
6、知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EFAB时,情况又怎样?图24-1-3-5思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.解：当EF交AB于P时,过O作OMCD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,EC=DF.当EFAB时,同理作OMCD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,EC=DF.快乐时光 数到100再说 某冬日,上课了,伊万老师靠教室壁炉站着,对学生们说:“说话前要多考虑,至少要数到50下才说,重
7、要的话要数到100下.”学生们争先恐后地数起来,最后不约而同地爆发出:“99、100,老师的衣服着火了!”30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图24-1-3-6思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.解：弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，AB、CD是直径，AOCBOD.ACBD.又BEBD，ACBE.弧AC=弧BE.法二：AB、C
8、D是直径，AOCBOD.弧AC=弧BD.BEBD，弧BE=弧BD.弧AC=弧BE.2.如图24-1-3-7所示，AB是O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图24-1-3-7思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求AOEBOF.证明：OCOD，OCDODC.AOOB，AB.OCDAODCB，即AOCBOD，即AOEBOF.弧AE=弧BF.3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是O的直径，且1=2=3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图24-1-3-8思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等
9、往往转化成圆心角相等.解：在O中，1=2=3，又AB、CD、EF都是O的直径，FOD=AOC=BOE.弧DF=弧AC=弧BE.AC=EB=DF. 4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.5.如图24-1-3-9，已知在O中，AD是O的直径，BC是弦，ADBC，E为
10、垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图24-1-3-9思路解析：因ADBC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC；（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）ABC=ACB；（7）DBC=DCB；（8）A
11、BD=ACD；（9）AD是BC的中垂线；（10）ABDACD；（11）O为ABC的外心等等.6.如图24-1-3-10，AB为O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求O的半径.图24-1-3-10思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.解：过O作OCAB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在RtOCA和OCP中，OC2=OA2AC2，OC2=OP2CP2，OA2AC2=OP2CP2.AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，CP=ABPABC=1，AC=5.OA252=521.OA=7，
12、即O的半径为7 cm.7.O的直径为50 cm，弦ABCD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)解：（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OGAB于G，交CD于E，连结OB、OD.ABCD，OGAB，OECD.EG即为AB、CD之间的距离OECD，OGAB，BG=AB=40=20（cm），DE=CD=48=24（cm）.在RtDEO中，OE=7（cm）.在RtBGO中，OG=15（cm）.EG=OGOE=157=8（cm）.(2)（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，GE=OGOE=157=22（cm）.综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.
