1、2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1设ab0，a2b24ab，则的值为【 】A、 B、 C、2 D、32已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2b2c2abbcca的值为【 】A、0 B、1 C、2 D、33如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于【 】A、 B、 C、 D、4设a、b、c为实数，xa22b，yb22c，zc22a，则x、y、z中至少有一个值【 】A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于05设关于x的方程ax2(a2)x9a0，有两个不等的实数根x1、x2，且x11x2，那么a的取值
2、范围是【 】A、a B、a C、a D、a06A1A2A3A9是一个正九边形，A1A2a，A1A3b，则A1A5等于【 】A、 B、 C、 D、ab二、填空题7设x1、x2是关于x的一元二次方程x2axa2的两个实数根，则(x12x2)(x22x1)的最大值为 。8已知a、b为抛物线y(xc)(xcd)2与x轴交点的横坐标，ab，则的值为 。9如图，在ABC中，ABC600，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB 。10如图，大圆O的直径ABacm，分别以OA、OB为直径作O1、O2，并在O与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形
3、O1O2O3O4的面积为 cm2。11满足(n2n1)n21的整数n有 个。12某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。三、解答题13某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14如图，圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：（2）求证：16如果对一切x的整数值
4、，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2bxc的值都是平方数？2002年全国初中数学竞赛试题一、 选择题（每小题5分，共30分）1. 设ab0，a2b24ab，则的值为（ ）。A、 B、 C、2 D、3答案：A.由题意: 0，且= = =3。2. 已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2b2c2abbcca的值为( )。A、0 B、1 C、2 D、3答案：原式= (a-b)2+(b-c)
5、2+(c-a)2= 1+1+4=3。3. 如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于( )。A、 B、 C、 D、答案：设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点，所以SGCF=SGBF，设为x；SGAE=SGBE，设为y。则 ,得2x+2y= .所以S四边形AGCD= .从而S四边形AGCDS矩形ABCD=23.4. 设a、b、c为实数，xa22b，yb22c，zc22a，则x、y、z中至少有一个值( )。A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0答案：由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2
6、+(b-1)2+(c-1)2+-30,所以x、y、z中至少有一 个大于0.5. 设关于x的方程ax2(a2)x9a0，有两个不等的实数根x1、x2，且x11x2，那么a的取值范围是( )。A、a B、a C、a D、a0答案：由题知:(x1-1)(x2-1)0, 即x1x2-(x1+x2)+10,代入韦达定理并整理得0知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18- .8. 已知a、b为抛物线y(xc)(xcd)2与x轴交点的横坐标，ab，则的值为 。答案：由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c
7、是方程 t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)= -20.而ab,即a-cb-c.所以a-c0.所以原式=b-a.9. 如图，在ABC中，ABC600，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB 。答案：易证:PABBCP,所以= ,得PB=410. 如图，大圆O的直径ABacm，分别以OA、OB为直径作O1、O2，并在O与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。答案：设O3的半径为x,则O1O3= +x，O1O= ,O3O= - x. 所以( +x)2=( )2
8、+（ - x）2,解得x= ,易得菱形O1O3O2O4的面积为 a2.11. 满足(n2n1)n21的整数n有 个。答案：由题设得n2-n-1=1,有5个根:0,1,-1,2.和-212. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。答案：设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=.三、 解答题（每小题20分，共60分）13. 某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保
9、证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？答案：设单独完成,甲、乙、丙各需a、b、c天.则 解得a=4, b=6, c=10（c7,舍去).又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z(元),则 解得x=45500, y=29500, 所以甲4天完成的总费用为182000元, 乙6天完成的总费用为177000元, 所以由乙承包.14. 如图，圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：（2）求证：答案：(1)易证3=4,所以AEC=DEQ,而ACE=2,所以ACEQDE.可得结论成立.(2)分析:易证6=4,所以FCED,所
10、以 = 所以只需证 = ,由(1)有 = 。所以只需证= ,即QD2=CQEQ. 这只需证CQDEQD.而由题设有7=3+5=4+5,由(1)有9=EAC,而EAC=8=QCD,所以可证得CQDEQD.15. 如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x 的二次三项式ax2bxc的值都是平方数？答案：(1)由题设知,可分别令x=0、-1、1，得则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数. (其中m、n、k为整数)(2)
11、假设2b为奇数2t+1(t为整数).取x=4得 16a+4b+m2=h2(h为整数).因 2a为整数,从而16a可被4整除.所以16a+4b=16a+4t+2 除以4余2.所以16a+4b为偶数. 又因为 16a+4b=(h+m)(h-m).若h、m的奇偶性不同,则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与矛盾.若h、m的奇偶性相同,则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾.所以假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数.所以a=k2+b-c为整数.反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1,则ax2+bx+c=3,不是平方数.11
