1、24.1.4 圆周角5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在O中，同弦所对的圆周角( )A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.都不对思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.答案：C2.如图24-1-4-1，在O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有( )图24-1-4-1A.5对 B.6对 C.7对 D.8对思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的1=3；弧DC所对的2=4；弧BC所对的5=6；弧AB所对的7=8.找等弧所对的圆周角，因为弧A
2、C=弧DC，所以1=4，1=2，4=3，2=3.由上可知，相等的圆周角有8对.答案：D3.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角 B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的2倍 D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半思路解析：本题考查圆周角的定义.答案：D4.(2010东北师大附中月考)如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在O上,且AC为O的直径,则A+B+C=度.图24-1-4-2思路解析：根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.答案：9010分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.(山东济南模拟)如图24-1-4-3，把一个量角器放在BAC的上面，请你根据量
3、角器的读数判断BAC的度数是( )A.30 B.60 C.15 D.20 图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-5思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答答案：C2.(2010南京建邺一模)如图24-1-4-4，A、B、C是O上的三点,ACB=30,则AOB等于( )A.75 B.60 C.45 D.30思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B3.(重庆模拟)如图24-1-4-5，OB、OC是O的半径，A是O上一点，若已知B=20，C=30，则A=_.思路解析：连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以A=B+C=20+30=50.答案：504.(经典回放)在半径为1的O
4、中，弦AB、AC分别是3和2，则BAC的度数是_.思路解析：如图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD，连结BD，易知BAD=30，CAO=45，BAC=15或75. (1) (2)答案：15或755.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使BAP=CAQ时，ABC是什么三角形？试证明你的结论.图24-1-4-6思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.解：当BAP=CAQ时，ABC是等腰三角形.证明：如图，作出ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连结DB、CE，由BAP=CAQ，得弧BD=弧CE.从而弧BDE=弧CE
5、D，所以BD=CE，CBD=BCE.又BP=CQ，则BPDCQE，这时D=E，由此弧AB=弧AC，故AB=AC,即ABC是等腰三角形.快乐时光 某足球队队员添了一个小孩,所有队友被邀请参加洗礼,来到教堂.突然孩子从母亲手中滑落,守门员果断地扑出,在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌欢呼,守门员习惯地拍了两下,接着熟练地大脚开出.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-4-7，已知O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD和BD的长.图24-1-4-7思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直
6、角三角形的性质解题.解：AB是直径，ACB=ADB=90.在RtACB中，BC=8.CD平分ACB，弧AD=弧BD.AD=BD.在RtADB中，AD=BD=AB=5(cm).2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )图24-1-4-9思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.答案
7、:B3.(辽宁大连模拟)如图24-1-4-9，A、C、B是O上三点，若AOC=40，则ABC的度数是( )A.10 B.20 C.40 D.80思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.答案：B4.如图24-1-4-10(1)，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O交AB、AC于D、E.(1)求证：DOE是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2)，若A=60，ABAC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.图24-1-4-10思路分析：ABC是等边三角形，所以B、C均为60，利用60的圆周角定理，可知DOB、EOC均为等边三角形.第
8、二种情形类似.（1）证明：ABC为等边三角形，B=C=60.OB=OC=OE=OD，OBD和OEC都为等边三角形.BOD=EOC=60.DOE=60.DOE为等边三角形.（2）解:当A=60，ABAC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.BC为O的直径，BDC=90.ADC=90.A=60，ACD=30.DOE=2ACD=60.OD=OE，DOE为等边三角形.5.四边形ABCD中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.图24-1-4-11思路分析：由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知
9、识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.解：AB=AC=AD=a，点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作A，并延长BA交A于E，连结DE.ABCD，弧BC=弧DE.BC=DE=b.BE为A的直径，EDB=90.在RtEDB中，BD=，BD的长为.6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？图24-1-4-12思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门
10、位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交O于C，则MANMCN，而MCN=MBN，所以MANMBN.因此在B点射门为好.7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且APB=，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图24-1-4-13思路分析：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于，即可安全绕过暗礁区.解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于，即可安全
11、绕过暗礁区.（1）在弧APB外任取一点C，连结CA、CB，设CA交弧APB于F，连结FB.AFB=，AFBC，C.（2）在弧APB的弓形内任取一点D，连结AD并延长交弧APB于E，连结DB、EB.E=，ABDE，ADB.由（1）（2）知，在航标灯A、B所在直线北侧，在圆弧弧APB外任一点对A、B的视角都小于;在圆弧弧APB上任一点对A、B的视角都等于;在圆弧弧APB内任一点对A、B的视角都大于.为此只有当对两灯塔的视角小于的点才是安全点.8.(湖北恩施自治州课改区模拟)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14(1)所示：图24-
12、1-4-14AOC是ABO的外角,AOC=ABO+BAO.又OA=OB,OAB=OBA.AOC=2ABO,即ABC=AOC.如果ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.思路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.解：如果ABC的两边都不经过圆心,结论ABC=AOC仍然成立.(1)对图(2)的情况,连结BO并延长交圆O于点D,由题图(1)知:ABD=AOD,CBD=COD.ABD+CBD=AOD+COD,即ABC=AOC.(2)
13、对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.9.(经典回放)如图24-1-4-15所示，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC=4 cm.(1)求证：ACOD；(2)求OD的长；(3)若A=30，求O的直径.图24-1-4-15思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.（1）证明:AB是O的直径，C=90.ODBC，ADO=C=90.ACOD.（2）解:ODBC，又O是AB的中点，OD是ABC的中位线.OD=BC=4=2（cm）.（3）解:A=30，在RtABC中，A=30，BC=AB.AB=2BC=8（cm）,即O的直径是8 cm.10.(经典回放)如图24-1-4
14、-16所示，AB是O的直径，C、D、E都是O上的点，则12=_.思路解析：1所对的弧是弧AE，2所对的弧是弧BE，而弧AE弧BE=弧AB是半圆，因此连结AD，ADB的度数是90，所以ADB=12.本题也可以连结EO，得到圆心角EOA和EOB,而EOAEOB=180，所以12=90，这是圆周角定理的直接应用.答案：90 图24-1-4-16 图24-1-4-1711.(经典回放)如图24-1-4-17所示，AB为O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A.APB为锐角 B.AQB为直角C.ARB为钝角 D.ASBARB思路解析：AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以APB、AQB、ARB、ASB都是直角.由于四个角都是直角，所以ASB=ARB=90.答案：B
