1、汕头大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码：814考生须知答案一律写在答题纸上.答科目名称：高等代数在试题纸上的不得分！请用黑色字适用专业：基础数学.应用数学迹签字笔作答.答题要写清题号，不必抄原题(20分)(1)叙述重因式的概念。(2)判断下列多项式是否有重因式：f(x)=x4-4x3+7x2-12c+12。(3)分别在实数域和复数域上分解(2)中的多项式。(4)设m,m,p为正整数，证明：x2+x+1整除x3m+2+x3n+x3p。二.(20分)设n是正整数，a1,a2,an和b1,b2,bn是两组不全为零的实数，a1b1 a1b2aibna261 a2b2a2bnanb1
2、anb2anbn(1)求A的秩。(2)求A的特征值。(3)求A相似于对角阵的条件。(4)设n=4,a1=1,a2=2,a3=0,a4=3,b1=2,b2=-2,b3=3,b4=1,求线性方程组Ax=0的解集W,指出W是否为R4的线性子空间，若是，求出W的一组基。三.(20分)设有n阶实数方阵A=(a,)n。(1)给出A为正交阵的定义。(2)给出两个2阶非单位矩阵的正交阵的例子，其中之一对应镜像变换，另一个对应旋转变换。(3)说明正交阵A=(a,)n的特征值和行列式的特点，并加以证明。113四.(20分)(1)设某二次型对应的矩阵为A=131将它化为标准型。(2）)设31123A=求A,k0。4
3、1五(20分)(1)设a1,a是n维欧几里得空间V的组向量，定义它们的Gram矩阵为第1页共2页汕头大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题(a1,1)(a1,02）(a1,as）(a2,a1)(a2,02）(a2,as)G(a1,ag)=(a8,1）(a8,a2）(as,as)其中(a,B)表示a与B的内积。证明：G(1,as)是正定矩阵或半正定矩阵，并给出G(1,g)为正定矩阵的条件。a11(2)设Aa=讨论二次型ga(x)=xT Aaxi的类型，即讨论当a取不同1的值时，qx(x)=xT Aaxl属于正定，负定，半正定，半负定还是不定。六.(15分)设n阶实数方阵A,B,证明：(AB)*=B*A*,其中X*表示n阶实数方阵X的伴随矩阵。-11-211-21七.(20分)(1)证明=(-1)n:1-211-2n123.n-1n234n1(2)计算Dn=34512n12.n-2n-1八.(15分)设A,B是n阶方阵。(1)证明：若A与B相似，则对任意常数c,cIn一A与cIm-B等价。(2)若对任意常数c,cIn-A与cIn一B等价，举例说明A与B不一定相似。第2页共2页
