1、习题课复数概念与运算的综合问题,1.实系数一元二次方程的解在复数集中任何实系数一元二次方程都是有解的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式0时,其求根公式为_.2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.,3.复平面内两点间的距离公式及复数形式的基本轨迹(1)设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何意义,可得复平面内Z1,Z2两点间的距离公式为d=|z1-z2|.(2)|z-z1|=r(r0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆.(3)|z-z1|=|z-z2|表示复
2、数Z对应的点的轨迹是以复数z1,z2对应的点为端点的线段的垂直平分线.(4)|z-z1|+|z-z2|=2a(2a|Z1Z2|0)表示复数Z对应的点的轨迹是以复数z1,z2的对应点Z1,Z2为焦点的椭圆.(5)|z-z1|-|z-z2|=2a(02a|Z1Z2|)表示复数Z对应的点的轨迹是以复数z1,z2的对应点Z1,Z2为焦点的双曲线.,4.在复平面内,若复数z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB为平行四边形;并且(1)当|z1+z2|=|z1-z2|时,四边形OACB为矩形;(2)当|z1|=|z2|时,四边形OACB为菱形;(3)当|z1|
3、=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|时,四边形OACB为正方形.5.对于任意复数z1,z2,有|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).,做一做1若关于x的方程x2+(1-2i)x+a-i=0(aR)有实数根,则这个实数根等于(),答案:B,做一做2若复数z满足|z-1+i|=3,则复数z对应的点的轨迹围成图形的面积等于()A.3B.9C.6D.9解析:由题意,得复数z对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于32=9.答案:D,做一做3关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是.,答案:z=4+3i,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当
4、堂检测,与复数有关的方程问题【例1】(1)设关于x的方程x2-(tan+i)x-(2+i)=0有实数根,则锐角以及实数根分别为(),分析:对于(1)可将实数根设出,代入方程,利用复数相等的充要条件求解;对于(2),可将z设出,利用复数问题实数化的方法求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,复平面内两点间距离公式的应用【例2】已知zC,指出满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹:(1)|z+1+i|=1.(2)|z-1|=|z+2i|.(3)|z+1|+|
5、z+1-i|=2.分析:充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析求解.解:(1)由于|z+1+i|=|z-(-1-i)|=1,它表明点Z到点(-1,-1)的距离等于1,因此轨迹是以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.(2)由于|z-1|=|z+2i|,它表示点Z到点(1,0)的距离等于点Z到点(0,-2)的距离,因此轨迹是以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.(3)由于|z+1|+|z+1-i|=2,它表示点Z到两定点(-1,0),(-1,1)的距离之和等于常数2,满足椭圆的定义,因此轨迹是以点(-1,0)和(-1,1)为焦点,长轴长为2的椭圆.,探究一,
6、探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2若A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的两点,O为原点,且|z1+z2|=|z1-z2|,则AOB的形状为.解析:由条件知复数z1,z2在复平面内对应的向量分别为,则以 为两邻边的平行四边形的两条对角线的长度分别为|z1+z2|,|z1-z2|,因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以以 为两邻边的平行四边形的对角线相等,因此它是矩形,故AOB为直角三角形.答案:直角三角形,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,分析:根据复数的几何意义,利用数形结合的方法进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维
7、辨析,当堂检测,变式训练3已知zC,且|z+1|=|z-i|,则|z+i|的最小值等于.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,复数概念与运算的综合问题,分析:(1)可利用复数问题实数化方法进行求解;(2)按照纯虚数的定义进行证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练4已知复数,z1=2+mi.(1)若|z+z1|=5,求实数m的值;(2)若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.,探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,混淆实系数与复系数方程的解法致误典
8、例已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,求实数k的值.,探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,探究二,探究三,探究一,思维辨析,当堂检测,变式训练若关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实数根,则纯虚数m等于(),答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.若关于x的方程x2+(2-3i)x-m+6i=0有实数根,则实数m的值等于()A.-2B.2C.8D.0,答案:C,解析:由于z3=1,zn=z,即zn-1=1,n-1应是3的倍数,当n-1=3时,n=4,故大于1的正整数n的最小值是4.答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂
9、检测,3.若zC且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析:因为|z+2-2i|=1,所以z在以(-2,2)为圆心,半径为1的圆上,而|z-2-2i|是该圆上的点到点(2,2)的距离,故最小值为3,如图.,答案:B4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的周长为.解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其周长为S=6.答案:6,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试判断x=1-i是否为方程的根.解:(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,故b的值为-2,c的值为2.(2)由(1)方程可化为x2-2x+2=0,把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,所以x=1-i也是方程的根.,
