1、1.1.2集合间的基本关系,1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系,并能正确地判断.2.了解Venn图的含义,会用Venn图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质.,1,2,3,4,1.Venn图(1)定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.(2)适用范围:元素个数较少的集合.(3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部.名师点拨常把封闭曲线画成椭圆或矩形等图形.【做一做1】如图所示的Venn图表示的集合为()A.-1,9,13B.x=-1,9,13C.-1,9,13D.(-1,9,13)答案:A,1,2,3,4,2.子集
2、(1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB(或BA),读作“A含于B”(或“B包含A”).名师点拨如果对任意xA,有xB,那么AB.若存在xA,但xB,则称A不是B的子集,记作AB.(2)图示:当AB时,用Venn图表示,如图或图所示.(3)性质:任何一个集合是它本身的子集,即AA;对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC.,1,2,3,4,【做一做2】已知集合A=-4,-1,m,集合B=-4,5,若BA,则实数m=.解析:BA,5B,5A.m=5.答案:5,1,2,3,4,3.集合相
3、等与真子集归纳总结1.对于集合A,B,C,若AB,BC,则AC;任何集合都不是它本身的真子集.2.若AB,且AB,则AB.,1,2,3,4,【做一做3-1】已知M=1,2,3,4,5,N=1,4,则有()A.MNB.NMC.NMD.M=N答案:B【做一做3-2】下列集合与集合x|x2-x=0相等的是()A.0B.1C.0,1D.1,2解析:集合x|x2-x=0是方程x2-x=0的解集,解方程x2-x=0,得x=0或x=1,则x|x2-x=0=0,1.答案:C,1,2,4,3,4.空集(1)定义:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为.(2)规定:空集是任何集合的子集,即A.名师点拨空集是任何非
4、空集合的真子集,即A(A).【做一做4-1】集合M=xR|2x2+3=0中元素的个数是()A.不确定B.2C.1D.0解析:由于方程2x2+3=0无实数根,则M=.答案:D,1,2,4,3,【做一做4-2】有下列命题:空集没有子集;任一集合至少有两个子集;空集是任何集合的真子集;若A,则A.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:对于,空集是任何集合的子集,故,错;对于,只有一个子集,是其自身,错;对于,空集不是空集的真子集,错;空集是任何非空集合的真子集,正确.答案:B,1.对空集的理解中没有元素.也就是说,确实存在没有任何元素的集合,那么如何刻画没有元素的集合呢?为此引进了空集的
5、概念,把不含任何元素的集合叫做空集,并记为.对于上述方程和不等式,我们不能说它们没有解集,而应该说它们的解集是.空集不含任何元素,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.空集的概念是一个规定.注:(1)是不含任何元素的集合;(2)0是含有一个元素的集合,0;(3)00,0.,2.符号“”和“”的区别剖析:符号“”只适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1Z,R;符号“”只适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,左边集合的元素均属于右边的集合,如11,0,x|x2x|x3.,题
6、型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例1】已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5,求集合M及其个数.分析:由2,3M知,M中至少含有元素2,3,且必须含有元素2,3;由M1,2,3,4,5知,M中至多含有元素1,2,3,4,5.按M中所含元素的个数分类写出集合M.解:当M中含有2个元素时,M为2,3;当M中含有3个元素时,M为2,3,1,2,3,4,2,3,5;当M中含有4个元素时,M为2,3,1,4,2,3,1,5,2,3,4,5;当M中含有5个元素时,M为2,3,1,4,5.所以满足条件的集合M为2,3,2,3,1,2,3,4,2,3,5,2,3,1,4,2,3,1,5,2,3,4,
7、5,2,3,1,4,5,集合M的个数为8.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思1.正确区分子集、真子集以及非空真子集等概念,先看清题目的要求,再求解.2.写出集合的子集时,一般可以按照集合的元素个数进行分类,再依次找出每类中符合要求的集合.3.解决这类问题时,还要注意两个比较特殊的集合,即和集合本身.4.含有n(n1,且nN)个元素的集合有2n个子集,(2n-1)个真子集,(2n-2)个非空真子集.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】已知集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|0 x5,xN,则满足ACB的集合C的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由已知可得
8、集合A=1,2,B=1,2,3,4,又因为ACB,所以集合C可以是1,2,1,2,3,1,2,4.答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思判断两个集合间的关系时,主要是根据这两个集合中元素的特征,结合有关定义来判断.对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可得它们之间的关系;对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,分析之前可以用列举法多取几个元素来估计它们之间可能有什么关系,然后再加以证明.当MN和MN均成立时,MN较准确地表达了M和N之间的关系.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练2】已知集合A=x|-1BB.
9、ABC.BAD.AB解析:在数轴上表示集合A,B,如图所示.显然BA.答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例3】已知集合A=x|-3x4,B=x|2m-1xm+1,且BA,B,求实数m的取值范围.分析:先在数轴上表示出集合A.由于BA,故集合B只能在集合A的内部.解:由题意,在数轴上表示出集合A,B,如图所示,故实数m的取值范围是m|-1m2.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思解决已知两个集合间的关系,求参数的范围问题时,通常要借助数轴;利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.在用数轴表示集合时,含“=”的端点用实心点
10、表示,不含“=”的端点用空心圆圈表示.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练3】已知集合A=x|x4,B=x|2axa+3,若BA,求实数a的取值范围.解:当B=时,只需2aa+3,即a3;综上可得,实数a的取值范围为a|a2.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例4】设集合A=x|-2xm-3,B=x|3n+4x2.若A=B,求实数m,n的值.解:由A=B知,两个集合中的不等式的端点值相等,反思解决集合相等的问题,要抓住元素相同这一关键,即一个集合中有的元素必定另一个集合也有,同时注意可能出现元素的重复,注意检验和取舍.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训
11、练4】设集合A=x,y,B=0,x2,若A=B,求实数x,y的值.解:A=B,x=0或y=0.当x=0时,x2=0,则B=0,0,不满足集合中元素的互异性,舍去;当y=0时,x=x2,解得x=1或x=0(舍去),此时A=1,0=B,满足条件.综上可知,x=1,y=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练5】设集合A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,若BA,求实数a的取值范围.解:由题意得A=0,-4,BA.(1)当A=B时,即B=0,-4,故0,-4是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,(2)当B=时,=4(a+1)2-4(a2-1)0,解得a-1.(3)当B只含有一个元素时,=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1.当a=-1时,B=x|x2=0=0A,满足条件.综上所述,所求实数a的取值范围为a-1或a=1.,
