1、第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法,【知识提炼】1.数列的概念(1)数列：按照一定_排列的一列数称为数列.(2)项：数列中的_叫做这个数列的项，第1项通常也叫做_，排在第n位的数称作这个数列的_，记作_.,顺序,每一个数,首项,第,n项,an,(3)表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an.,2.数列的分类,有限,无限,2,大于,2,小于,各项相等,大于,小于,2,3.数列的通项公式如果数列an的第n项与_n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式.,序号,【即时小测】1.思考下列问题(1)所有自然数能构成数列吗？提
2、示：能.如将所有自然数按从小到大的顺序排列.(2)同一个数在数列中能重复出现？提示：能.数列中的数可以重复出现.,2.把五个自然数：排成1，2，3，4，5；排成5，4，3，2，1；排成3，1，4，2，5；排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列.,3.已知数列，根据前三项给出的规律，则实数对(a，b)可能是()A.(19，3)B.(19，-3)C.()D.(),【解析】选C.由前三项可知，该数列的通项公式可能为an=.所以 即,4.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15，则3()A.不是数列an中的项B.只是
3、数列an中的第2项C.只是数列an中的第6项D.是数列an中的第2项或第6项,【解析】选D.令an=3，即n2-8n+15=3，解得n=2或6，故3是数列an中的第2项或第6项.,5.若数列an的通项公式是an=3-2n，则=_.【解析】因为an=3-2n，所以答案：,【知识探究】知识点1 数列的概念观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：数列定义中的关键词是什么？问题2：数列中an和an是否相同？,【总结提升】对数列概念的三点说明(1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置.,(2
4、)项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次.(3)an与an是不同概念：an表示数列a1，a2，a3，an，；而an表示数列an中的第n项.,知识点2 数列的通项公式观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：在上面的数列中，你能表示项an与项的序号n之间的关系吗？问题2：任何数列都有通项公式吗？,【总结提升】对数列的通项公式的四点说明(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集为定义域的函数表达式，即an=f(n).(2)已知数列的通项公式，依次用1，2，3去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是
5、不是某数列中的项，是第几项.,(3)同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如精确到1，0.1，0.01，的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示.(4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.如摆动数列：-1，1，-1，1，-1，1，通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成an=,【题型探究】类型一 数列的概念及分类【典例】1.下列说法正确的是()A.数列1，2，3，5，7可表示为1，2，3，5，7B.数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1是相同的数列C.数列 的第k项是1+D.数列0，2，4，6，8，可记为2n,2.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(),
6、【解题探究】1.典例1中处理数列的概念应注意哪些问题？提示：数列不能用集合表示，数列中的项是有序的，数列中的nN*.2.典例2中，递增、递减数列的概念是什么？提示：在数列an中，若anan+1，则数列an是递减数列.,【解析】1.选C.1，2，3，5，7是一个集合，所以A错；由于数列的项是有顺序的，所以B错；数列 的第k项是 C正确；而D中数列应表示为2(n-1).2.选C.A是递减数列，B是摆动数列，D是有穷数列，故选C.,【方法技巧】处理数列分类问题的技巧(1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷
7、数列.,(2)数列的单调性.若满足anan+1，(nN*)则是递减数列；若满足an=an+1，(nN*)则是常数列；若an与an+1(nN*)的大小不确定时，则是摆动数列.,【变式训练】已知数列，那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列,【解析】选A.因为an+1-an=0,所以an+1an，故该数列是递增数列.,【补偿训练】下列说法正确的是()A.数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列B.数列2，3，4，4可以记为2，3，4C.数列1，可以记为 D.数列2n+1的第5项是10,【解析】选C.A.数列是有序的，B.数列与数集是两个不同的概念，D.当n=5时，a5=25
8、+1=11.,类型二 用观察法求数列的通项公式【典例】1.(2015郑州高二检测)观察以下公式an=an=(-1)nan=可以作为数列，0，0，0，通项公式的是_.,2.写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数.(1)(2)-1，3，-5，7，-9，(3)a，b，a，b，a，b，(4)9，99，999，9 999，,【解题探究】1.典例1中，如何判断一个公式是否可以作为一个数列的通项公式？提示：把n依次换为1，2，3，进行验证，看是否与数列中对应的项相同即可.,2.典例2(1)是带分数如何处理？(2)中一负一正怎样处理？(3)中数列可看成是哪两个数列对应项的和？(4)中每一项加1会
9、得到什么结果？再观察有何特点？,提示：(1)把每一项分成整数和分数两部分.(2)一正一负可通过(-1)n来实现转换.(3)可看作是数列a，0，a，0，与数列0，b，0，b，对应项的和.(4)得到：10，100，1 000，可以写成10n的形式.,【解析】1.分别令n=1，2，3，可以看出公式可以作为已知数列的通项公式.答案：,2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，恰好是序号n；分数部分分别为，与序号n的关系是，所以这个数列的一个通项公式是an=(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，是连续的正奇数；考虑(-1)n具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an=(-1)n(
10、2n-1).,(3)数列1，0，1，0，的通项公式为，数列0，1，0，1的通项公式为，因此数列a，0，a，0的通项公式为，数列0，b，0，b，的通项公式为，所以数列a，b，a，b，a，b，的通项公式为an=,(4)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an=10n-1.,【方法技巧】根据数列的前几项求通项公式的解题思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.,(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符
11、号.(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.,【变式训练】写出下列数列的一个通项公式：(1)(2)(3)(4)5，55，555，5 555，,【解析】(1)分母依次是2，4，8，即2n，而分子比分母少1，所以通项公式为an=(2)将分母统一为2，分子恰为平方数，所以通项公式为an=,(3)此数列的每一项分为三部分：分子、分母、符号.奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子都是3，分母依次是1，2，3，4，正负号可以用(-1)n调整.,由于1=2-1，3=2+1，所以数列的通项公式可合写成an=(4)将数列各项写为所以数列的通项公式为an=(
12、10n-1).,【补偿训练】数列1，的一个通项公式为_.【解析】奇数项为正，偶数项为负，可由(-1)n-1来实现，分子全为1，分母依次为20，21，22，23，所以an=，即an=所以通项公式为an=答案：an=,类型三 数列通项公式的简单应用【典例】1.已知数列 则0.96是该数列的()A.第22项B.第24项C.第26项D.第28项,2.已知数列an的通项公式为an=(1)写出数列的第4项和第6项.(2)试问 是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.,【解题探究】1.典例1中如何判断给出的数值是该数列的项？提示：先假定它是数列中的第n项，列方程求n，根据nN*判断.,2.典例2
13、中如何根据数列的通项公式求数列的项数或项？提示：已知数列的通项公式，只要将数列中的项或项数代入通项公式，就可以求出项数或项.,【解析】1.选B.因为通项公式为an=，则有 解得n=24.,2.(1)因为an=，所以a4=a6=(2)令 则n2+3n-40=0，解得n=5或n=-8，注意到nN*，故将n=-8舍去，所以 是该数列的第5项.,【延伸探究】1.(变换条件)若将典例2(2)中的“”变为“”，其他条件不变，结果如何？【解析】令，则4n2+12n-27=0，解得n=或n=-，注意到nN*，所以 不是此数列中的项.,2.(改变问法)若典例2条件不变，试判断数列an的增减性.【解析】an+1-
14、an=故an+1an，故数列an为递减数列.,【方法技巧】1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.,2.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.,【变式训练】已知数列an的通项公式是an=其中nN*.(1)写出a10，an+1和(2)79 是不是这个数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.,【解析】(1)a10=(2)令则n2+n-240=0，解得n=15或n=-
15、16.注意到nN*，故将n=-16舍去，所以 是这个数列中的项，是第15项.,【补偿训练】已知数列an的通项公式为an=n2-5n+4.(1)求数列an中有多少项是负数.(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值.,【解析】(1)令an=n2-5n+40，解得1n4，因为nN*，所以n=2，3，即数列有两项是负数.(2)an=n2-5n+4=其对称轴为n=，所以当n=2或3时，an取得最小值，最小值为-2.,易错案例 数列中的最值问题【典例】(2015青岛高二检测)已知数列an的通项公式为an=-2n2+21n，则该数列中的数值最大的项是()A.第5项 B.第6项C.第4项或第5项 D.第
16、5项或第6项,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：没注意到n=5和n=6时，哪一个距离n=更近，从而找出最大项.,【自我矫正】选A.an=因为nN*，5 6，且a5=55，a6=54，所以数值最大的项为第5项.,【防范措施】由数列通项公式求最大项的关注点(1)合理选择方法：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决，但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.如本题由通项公式可以看出an与n构成二次函数关系，可采用配方法，此时应注意自变量n为正整数.,(2)结合实际进行检验：对于数列来说自变量n为正整数，所以在求解过程中要结合实际进行验证.如本题中要将n=5和n=6分别代入到an=-2n2+21n进行验证.,
