1、一、等差数列前n项和的最值问题等差数列前n项和公式为 当d0时，Sn是关于n的二次函数，在一定条件下，Sn有最值.请根据这些条件思考下面的问题：,第2课时 等差数列习题课,探究1：在等差数列an中，当a10，d0呢？提示：当a10，d0时，数列为递增数列，所以Sn有最小值.,探究2：从函数观点分析Sn=的最值情况.提示：当d0时，此二次函数的开口向上，Sn存在最小值；当d0时，此二次函数的开口向下，Sn存在最大值.,【探究总结】对等差数列前n项和最值的三点说明(1)等差数列前n项和的最值不一定在顶点处取得.(2)取最值时的n值，一定是正整数.(3)d=0时，数列为常数列，前n项和Sn=na1，
2、是关于n的一次函数.,二、数列|an|的前n项和问题等差数列an的首项为a1，公差为d，则其前n项和为Sn=na1+.将数列an的每一项都取绝对值，得到一新数列|an|，请思考下面的问题：,探究1：若等差数列an的首项a10，其前n项和为Sn，则数列|an|的前n项和如何求？提示：因为等差数列an的首项a10，所以存在正整数m，当nm时，有an0，当nm时，有an0，记数列|an|的前n项和为Tn，则当nm时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=-Sn，,当nm时Tn=|a1|+|a2|+|am|+am+1+an=-a1-a2-am+am+1+an=a1+a2+am+am+1+an-2(a1+
3、a2+am)=Sn-2Sm.所以Tn=,探究2：若等差数列an的首项a10，公差d0，公差dm时，有an0，当nm时有an0，记数列|an|的前n项和为Tn，则当nm时，Tn=a1+a2+an=Sn，,当nm时，Tn=a1+a2+am+|am+1|+|an|=a1+a2+am-am+1-an=-a1-a2-am-am+1-an+2(a1+a2+am)=-Sn+2Sm.所以Tn=,【探究总结】求等差数列|an|的前n项和两点说明(1)当数列中含有负项时，要注意对n的讨论.(2)数列|an|的前n项和要以分段的形式表示.,类型一求等差数列前n项和的最值1.在递减等差数列an中，若a1+a100=0
4、，则其前n项和Sn取最大值时的n值为()A.49B.51C.48D.502.(2014江西高考)在等差数列an中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为.,3.已知数列an的前n项和公式为Sn=2n2-30n.(1)求数列an的通项公式an.(2)求Sn的最小值及对应的n值.,【解题指南】1.利用等差数列的性质判断出a500，a510，a90.3.(1)注意分n=1和n2讨论.(2)利用配方法求最值.,【自主解答】1.选D.因为a1+a100=a50+a51=0，且d0，a510且a90且7+8d0，解得-1d 答案：,3.(1)因为Sn=2n2-
5、30n，所以当n=1时，a1=S1=-28.当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-30n)-2(n-1)2-30(n-1)=4n-32.当n=1时上式也适合.所以an=4n-32，nN*.(2)Sn=2n2-30n=所以当n=7或8时，Sn最小，且最小值为S7=S8=-112.,【规律总结】求等差数列前n项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定.,(2)因为 若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.,【变式训练】在等差数列an中，a1
6、=25，S9=S17，则前n项和Sn的最大值是.【解析】由S17=S9，得2517+(17-1)d=259+(9-1)d，解得d=-2，所以Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169，由二次函数性质可知，当n=13时，Sn有最大值169.因此Sn的最大值为169.答案：169,类型二求数列|an|的前n项和1.已知数列an的通项公式为an=2n-30，Sn是|an|的前n项和，则S10=.2.(2015北京高二检测)Sn表示等差数列an的前n项和，且S4=S9，a1=-12.(1)求数列的通项an及Sn.(2)求和：Tn=|a1|+|a2|+|an|.,【解题指南】1.先判断前
7、10项的正负，再根据求和公式求解.2.(1)由S4=S9，a1=-12，可以求得a1与d的关系，可求得d与an.(2)由d0，先判断该数列从第几项大于零，从第几项小于零，再根据等差数列前n项和的性质求解.,【自主解答】1.an=2n-30，令an0得n15，即an中，前14项均为负数，所以S10=-(a1+a2+a3+a10)=-(a1+a10)=-5(-28)+(-10)=190.答案：190,2.(1)设公差为d，因为S4=S9，a1=-12，所以4(-12)+6d=9(-12)+36dd=2，所以an=-12+2(n-1)=2n-14，Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.(2)当
8、n7时，Tn=-(a1+a2+a3+an)=-Sn=13n-n2，当n8时，an0，Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a7+an)=Sn-2S6=n2-13n+84.综上，Tn=,【规律总结】求数列|an|的前n项和的步骤(1)求出数列的通项公式.(2)判断出an的符号.(3)找出数列an中项的正负界点.(4)利用拆项法求和.,【变式训练】已知等差数列an前三项的和为-3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式.(2)若a1a2=a32，求数列|an|的前n项和.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d，由题意得解得 或所以由等差数列
9、通项公式得an=2-3(n-1)=-3n+5，或an=-4+3(n-1)=3n-7.故an=-3n+5或an=3n-7.,(2)当an=-3n+5时，a2，a3，a1分别为-1，-4，2，不满足a1a2=a32；当an=3n-7时，a2，a3，a1分别为-1，2，-4，满足a1a2=a32.故|an|=|3n-7|=记数列|an|的前n项和为Sn.,当n=1时，S1=|a1|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；当n3时，Sn=S2+|a3|+|a4|+|an|=5+(33-7)+(34-7)+(3n-7)当n=2时，满足此式.综上，Sn=,类型三等差数列的综合应用1.已知数列an中
10、，a3=2，a7=1，且数列 是等差数列，则a11等于()A.-B.C.D.52.(2014浙江高考)已知等差数列an的公差d0，设an的前n项和为Sn，a1=1，S2S3=36.(1)求d及Sn.(2)求m，k(m，kN*)的值，使得am+am+1+am+2+am+k=65.,【解题指南】1.分别求出 得到等差数列的两项，求出公差和第11项进而求出a11.2.利用已知条件先求出d，然后再求解其他问题.,【自主解答】1.选B.设 的公差为d，则有解得d=，所以 即解得a11=.2.(1)由题意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36，解得d=2或d=-5(舍去).所以Sn=na1+d=n+n(
11、n-1)=n2.,(2)由(1)知，am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1)，所以(2m+k-1)(k+1)=65，由m，kN*知，2m+k-1k+11，故 所以,【规律总结】裂项相消法求和当数列的通项是分式形式，分母是两个式子的乘积，且两个式子的差为常数，这时可以把通项分裂成两项之差，如an=在求和时，中间很多项都会相互抵消，只剩首尾若干项，从而求出数列的和.,【变式训练】在等差数列an中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6-4，其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式.(2)设数列bn满足 求数列bn的前n项和Tn.,【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11，2a3=a2+a6-4，即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4，得d=2，a1=1，则an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.(2)因为Sn=na1+n(n-1)d=n2，所以 所以,
