1、第一课解三角形,【网络体系】,【核心速填】1.正弦定理(1)公式表达：_.,(2)公式变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；sinA=，sinB=，sinC=；abc=sinAsinBsinC；,2.余弦定理(1)公式表达：a2=_，b2=_，c2=_.(2)推论：cosA=_，cosB=_，cosC=_.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,3.三角形中的常用结论(1)a+bc，b+ca，c+ab.(2)a-bbABsinAsinB.(5)a=bA=B.,(6)A为锐角cosA0a2b2+c2；A为直角cosA=0a2=b
2、2+c2.(7)sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC.(8),4.三角形中的计算问题在ABC中，边BC，CA，AB记为a，b，c，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则(1)ha=bsinC=_.(2)hb=csinA=_.(3)hc=asinB=_.,csinB,asinC,bsinA,(4)(5),【易错提醒】解三角形中易忽视的三点(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围.(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况.(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况.,类型一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】(1)ABC的
3、外接圆的圆心为O，AB=2，AC=，BC=，则 等于(),(2)在ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos 2A=，sinB=求A+B的值；若a-b=-1，求a，b，c的值.,【解析】(1)选C.因为AB=2，所以BC2=AB2+AC2，所以A=，所以BC为圆的直径，O为斜边BC的中点，所以CO=BO=AO=BC=，又AC=，设AOC=，由余弦定理得cos=则,(2)因为A，B为锐角，sinB=所以cosB=又因为cos 2A=1-2sin2A=所以sinA=，cosA=所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB,因为0A+B，所以A+B=由知C=
4、，所以sinC=由正弦定理 得即a=b，c=b.因为a-b=-1，所以 b-b=-1，所以b=1，所以a=，c=.,【方法技巧】应用正、余弦定理解决解三角形问题的类型及方法,【变式训练】在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2，=4，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c.,【解析】因为=4，所以=4.所以所以sinC=.又因为C(0，)，所以C=或C=,由2sinBcosC=sinA，得2sinBcosC=sin(B+C)，即sin(B-C)=0.所以B=C，所以B=C=，A=-(B+C)=由正弦定理，得,【补偿训练】在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
5、B=45，b=，cosC=(1)求边长a.(2)设AB的中点为D，求中线CD的长.,【解析】(1)由cosC=得sinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC由正弦定理得,(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=(3)2+()2-23=4，所以c=2，在BCD中.由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosB=12+(3)2-213=13，所以CD=,类型二 判断三角形的形状【典例2】(1)在ABC中，已知3b=2 asinB，且cosB=cosC，角A是锐角，则ABC的形状是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形,(
6、2)已知在ABC中，=c2，且acosB=bcosA，试判断ABC的形状.,【解析】(1)选D.由3b=2 asinB，得根据正弦定理，得所以，即sinA=又角A是锐角，所以A=60.又cosB=cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B=C，故ABC为等边三角形.,(2)由=c2，得a3+b3-c3=c2(a+b)-c3，所以a2+b2-ab=c2，所以cosC=，所以C=60.由acosB=bcosA，得2RsinAcosB=2RsinBcosA(R为ABC外接圆的半径)，所以sin(A-B)=0，所以A-B=0，所以A=B=C=60，所以ABC为等边三角形.,【方法技巧】判定三角形形状的
7、两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sinA=sinBA=B，sin(A-B)=0A=B，sin2A=sin2BA=B或A+B=等.,(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=cosA=等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.,【变式训练】在ABC中，若B=60，2b=a+c，试判断ABC的形状.【解析】方法一：由正弦定理可得2sinB=sinA+sinC，因为B=60，所以A+C=120，A=120-C，将其代入上
8、式，得2sin60=sin(120-C)+sinC，展开整理，得 sinC+cosC=1，所以sin(C+30)=1，所以C+30=90.所以C=60，故A=60，所以ABC是等边三角形.,方法二：由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，因为B=60，b=，所以()2=a2+c2-2accos60.所以(a-c)2=0，所以a=c，所以a=b=c，所以ABC为等边三角形.,【补偿训练】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=k(kR).(1)判断ABC的形状.(2)若c=，求k的值.,【解析】(1)因为=cbcosA，=cacosB，又因为，所以bccosA=accosB
9、，所以bcosA=acosB.,方法一：因为bcosA=acosB，所以sinBcosA=sinAcosB，即sinAcosB-sinBcosA=0，所以sin(A-B)=0.因为-A-B，所以A=B.所以ABC为等腰三角形.,方法二：因为bcosA=acosB，所以所以b2+c2-a2=a2+c2-b2，所以a2=b2，所以a=b.故此三角形是等腰三角形.(2)由(1)知a=b，所以=bccosA=bc=k.因为c=，所以k=1.,类型三 正、余弦定理的实际应用【典例3】已知海岛A周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75，航行20 海里后，见此岛在北偏东30，若货轮不改
10、变航向继续前进，有无触礁危险？,【解析】如图所示，在ABC中，依题意得BC=20 海里，ABC=90-75=15，BAC=60-ABC=45.由正弦定理，得所以AC=10()(海里).,过点A作ADBC.故A到航线的距离为AD=ACsin60=10()=()(海里).因为 8，所以货轮无触礁危险.,【方法技巧】正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.,(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后
11、解此三角形.(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.,(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.,【变式训练】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，求DEF的余弦值.,【解析】如图，作DMAC交BE于点N，交CF于点M，DF=DE=EF=在DEF中，由余弦定理得：cosDEF=,【补偿训练】如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出
12、四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_km.,【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以B+D=，由余弦定理得AC2=52+32-253cosD=34-30cosD，AC2=52+82-258cosB=89-80cosB，由cosB=-cosD，得，解得AC=7.答案：7,类型四 正、余弦定理与三角函数的综合【典例4】(2015陕西高考)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a，b)与n=(cosA，sinB)平行.(1)求A.(2)若a=，b=2，求ABC的面积.,【解析】(1)因
13、为mn，所以asinB-bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0，又sinB0，从而tanA=，由于0A，所以A=.,(2)方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，而a=，b=2，A=，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0，因为c0，所以c=3.故ABC的面积为 bcsinA=,方法二：由正弦定理得，从而sinB=又因为ab，所以AB，所以cosB=所以sinC=sin(A+B)=所以ABC的面积为,【方法技巧】正、余弦定理与三角函数综合应用的处理策略(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.(2)
14、利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简.,【变式训练】(2015武汉高一检测)如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).,【解析】设AMN=，0120，在AMN中，因为MN=2，所以AM=sin(120-)，在APM中，cosAMP=cos(60+)，AP2=AM2+MP2-2MPAMcosA
15、MP=sin2(120-)+4-22 sin(120-)cos(60+),=sin2(60+)-sin(60+)cos(60+)+4=1-cos(2+120)-sin(2+120)+4=-sin(2+120)+cos(2+120)+=-sin(2+150)，0120，当且仅当2+150=270，即=60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2，,答：当AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.,【补偿训练】如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：当AOB为多少时，四边形OACB的面积最大？,【解析】设AOB=.在AOB中，由余弦定理，得AB2=12+22-212cos=5-4cos.所以四边形OACB的面积为S=SAOB+SABC=OAOBsin+AB2,=21sin+(5-4cos)=sin-所以当sin()=1时，S有最大值.因为0，所以故当AOB=时，四边形OACB的面积最大.,
