1、 21.2.2公式法教师备课素材示例类比导入解下列一元二次方程：(1)x24x40；(2)6x27x10；(3)5x215x140；(4)2x26x150.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到四个新的方程：(1)2x24x40；(2)6x25x10；(3)5x215x400；(4)2x2x150.问题1：新方程与原方程的解答过程相比，有什么变化？【归纳】用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根.问题2：既然过程是相同的，为什么根会不同？方程
2、的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？【归纳】因为系数发生了变化，所以根会不同方程的根与系数有关系【教学与建议】教学：复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；让学生充分感受用配方法解各种题型；引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，分组解答复习导入提问：怎样用配方法解一元二次方程？(1)移项；化二次项系数为1；方程两边都加上一次项系数的一半的平方；原方程变形为(xm)2n的形式；如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0).移项，得_ax2
3、bxc_二次项系数化为1，得_x2x_配方，得_x2x()2()2_，即(x)2.因为a0，所以4a20.当b24ac0时，得_x_，所以_x_，即x1，x2.当b24ac0时，得x1x2.当b24ac0时，方程无实数根【教学与建议】教学：让学生回顾旧知，加深对配方法的理解建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表去黑板上练习命题角度1利用b24ac判断一元二次方程根的情况用式子b24ac判断方程根的情况：若b24ac0，则方程有两个不等的实数根；若b24ac0，则方程有两个相等的实数根；若b24ac0，则方程无实数根【例1】(1)一元二次方程x22x10根的情况是(D)A只有一个实数根 B
4、有两个相等的实数根C没有实数根 D有两个不相等的实数根(2)不解方程，直接判定下列一元二次方程根的情况2x23x40; 3x222x.解：3242(4)410，方程有两个不相等的实数根；方程化为一般式为3x22x20，(2)24320，方程有两个相等的实数根命题角度2利用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，再代入公式，判断b24ac与0的大小关系，最后代入公式求根【例2】解方程：16x28x3.解：方程化为16x28x30.a16，b8，c3.b24ac82416(3)2560.方程有两个不相等的实数根x，即x1，x2.命题角度3根据方程根的情况求字母系数的值或
5、取值范围利用方程根的情况与b24ac的值的对应关系确定字母系数的值或取值范围【例3】(1)若关于x的一元二次方程x23xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(B)Am Bm Cm Dm(2)若关于x的一元二次方程x22xk0有两个相等的实数根，则k的值为_1_(3)若关于x的一元二次方程(m1)x23x20有实数根，则m的取值范围是_m且m1_命题角度4一元二次方程根的判别式的实际应用在解决实际问题时，利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.【例4】小林准备进行如下操作试验：把一根长为20 dm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于12
6、 dm2.”他的说法对吗？请说明理由解：小峰的说法是对的理由如下：假设这两个正方形的面积之和可以等于12 dm2.设此时其中一个正方形的边长为x dm，则另一个正方形的边长是(5x)dm.由题意可得x2(5x)212.化简，得2x210x130.b24ac(10)2421340，此方程没有实数根，小峰的说法是对的考古结果表明，在大约公元前2000年，由于生产的需要，古巴比伦人就能解部分较为特殊的一元二次方程了，公元前300年左右，欧几里得提出了抽象的图解法来解一元二次方程，但缺陷是只能求正根公元前250年左右，丢番图在算术中提出一元二次方程问题，但是当时的人们未找到它的求根公式公元7世纪，印度
7、的婆罗摩笈多首次使用代数方法解出一元二次方程，且同时容许有正负数的根公元8世纪，阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式来求方程的正数解，并首次提出了方程一般解法，萨瓦索达在Liber embadorum中首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲我国是世界最早研究一元二次方程的国家之一约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了方程的正根九章算术“勾股”章里就有涉及求方程x234x71 0000的正根的问题三国时期赵爽巧妙应用出入相补原理，从几何直观出发，在勾股圆方图注中列出了关于直角三角形三边关系和引申的有关二次方程的命题和结果公元729年唐朝天文学家张遂在大衍历中，用文字叙述给出了一元二次方程x2
8、pxq0(p0，q0)的求根公式宋朝著名数学家杨辉在田亩比类乘除捷法(1275年)一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法(含配方法)高效课堂教学设计1理解一元二次方程求根公式的推导2会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程重点求根公式的推导和公式法的应用难点一元二次方程求根公式的推导活动1新课导入用配方法解方程：(1)x23x20；(2)2x23x50.解：(1)x11，x22；(2)x11，x2.任何一个一元二次方程都可以写成ax2bxc0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？活动2探究新知教材P9探究提出问题：(1)运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？(2)请
9、结合“步骤”解方程ax2bxc0(a0)，移项得_ax2bxc_，二次项系数化为1得_x2x_，两边同时加一次项系数一半平方得_x2x_左边写成完全平方式，右边整理得_(x)2_；(3)(x)2两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？学生完成并交流展示活动3知识归纳1一元二次方程ax2bxc0(a0)，当_b24ac0_时，x，这个式子叫做一元二次方程ax2bxc0的_求根公式_2式子_b24ac_叫做一元二次方程ax2bxc0根的判别式0方程ax2bxc0(a0)_有两个不相等的实数根_；0方程ax2bxc0(a0)_有两个相等的实数根_；0方程ax2bxc0(a0)_没有实数根_
10、提出问题：(1)一元二次方程根的情况是由什么决定的？(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？活动4例题与练习例1教材P11例2.例2不解方程，判断下列方程的根的情况(1)x22x10；(2)3x24x50；(3)x27x60.解：(1)b24ac0，方程有两个相等的实数根；(2)b24ac440，方程无实数根；(3)b24ac730，方程有两个不相等的实数根例3关于x的一元二次方程x2(2m1)xm210有两个不相等的实数根(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根解：(1)依题意，得(2m1)24(m21)4m50，解得m；(2)答案不唯一
11、，如：m1.此时方程为x23x0，解得x13，x20.练习1教材P12练习第1，2题2关于x的一元二次方程x24xk0有两个相等的实根，则(B)Ak4Bk4Ck4Dk43关于x的一元二次方程x2ax10的根的情况是(D)A没有实数根B只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根4若关于x的一元二次方程x24xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_m4_活动5课堂小结1求根公式的概念及其推导过程2公式法的概念3运用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；(3)计算b24ac的值，若结果为负数，方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果1作业布置(1)教材P17习题21.2第4，5题；(2)对应课时练习2教学反思
