1、18.2.3正方形第1课时正方形的性质教学设计课题正方形的性质授课人素养目标1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重点正方形性质的理解及其应用教学难点正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图通过图片展示，引导学生思考正方形的概念及性质.【情境导入】仔细观察下列实际生活中的图片，你会发现这些都是正方形的形象 正方形是我们熟悉的图形，你还能列举出正
2、方形在生活中应用的其他例子吗？结合已有经验，类比菱形与矩形，正方形的概念是怎样的呢？教师总结：正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧！【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考正方形的概念，学生从矩形和菱形的角度回答正方形的概念也可以，正确即可.活动二：动手操作，探究新知设计意图通过回忆体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.探究点正方形的性质1边、角、对角线的性质探究(1)我们回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？答：正方形的四条边都相等，四个角都是直角(2)上面正方形的概念中提到有一组邻边相等的平行四边形是什么图形？答：菱
3、形(3)上面正方形的概念中提到有一个角是直角的平行四边形是什么图形？答：矩形事实上，如果把矩形、菱形各添加一个条件，平行四边形添加两个条件均可得到正方形，可以用下面结构图直观呈现这种关系：归纳总结：正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质我们根据前边的学习，除了边和角，还可以研究一下正方形的对角线，那么它的对角线就是互相平分、相等且垂直【教学建议】 让学生回忆并类比平行四边形、矩形、菱形的性质来研究正方形的性质，引导学生从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线、对称性等几个方面进行归纳总结教学步骤师生活动设计意图引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质
4、.正方形的对角线除了上述基本性质外，还有无其他性质呢？事实上，它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形我们可以试着证明：(教材P58例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：ABO，BCO，CDO，DAO是全等的等腰直角三角形.证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，ACBD，AOBOCODO.ABO，BCO，CDO，DAO都是等腰直角三角形，并且ABOBCOCDODAO.2.正方形的对称性我们再想一想：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？答：如图，取一张正方形纸片，将它沿过对边中点的直线
5、和对角线折叠，折叠后的两部分均能重合.归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.【对应训练】1正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是32.如图，在正方形ABCD中，点E在BD上，且BECD，则BEC的度数为67.5.3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，AEBF，连接AF，DE.求证：ADEBAF.证明：四边形ABCD为正方形，ADBA，DAEABF90.在ADE和BAF中，ADBA，DAEABF，AEBF，ADEBAF(SAS).活动三：综合运用，巩固提升设计意图强化学生对正方形性质的掌握.例如图，在正方形ABCD中
6、，点E在边BC上，点F在CD的延长线上，且BEDF.(1)求证：AEAF，AEAF；(2)若BD与EF相交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量关系和位置关系，并说明理由.(1)证明：四边形ABCD为正方形，ABEBADADCADF90，ABAD.又BEDF，ABEADF(SAS)，AEAF，BAEDAF.DAFEADBAEEAD，即EAFBAD90，AEAF.【教学建议】 提醒学生：(1)与正方形性质相关的证明题往往是利用正方形边、角、对角线的性质，将其转化为证明三角形全等的条件；(2)正方形两条对角线将正方形分割为四个全等的等教学步骤师生活动(2)解：AMEF，AMEF.理由如下：如图，
7、过点E作ENCD，交BD于点N，MNEMDF，MENMFD，NEB=C90.四边形ABCD为正方形，NBE45，BNE90NBE45，NBEBNE，BENE.又BEDF，NEDF，MNEMDF(ASA)，EMFM.AEAF，EAF90，AMEF，AMEF.【对应训练】1.如图，AC是正方形ABCD的对角线，若以AD为边向正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则EFC75. 2.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC8，AECF2，则四边形BEDF的周长是85. 3.教材P59练习第2题腰直角三角形，可得到45角.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见创优作业“随堂
8、小练”册子相应课时训练【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的概念是什么？正方形有哪些性质？正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的区别和联系？【知识结构】【作业布置】1.教材P61习题18.2第7，12，15，17题.2创优作业主体本部分相应课时训练板书设计18.2.3正方形第1课时正方形的性质一、正方形的概念二、正方形的性质1.边.2.角.3.对角线.4.对称性.教学反思正方形性质的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中注意引导学生思索平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系，使其形成完整的四边形知识网络.的应用，可以培养学生的应用意识从本节课的
9、授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有与现实生活的联系，又有动手操作，调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用.解题方法：如何区分平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质？从边的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边都相等的性质从角的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都是直角的性质从对角线的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形还具有对角线相等的性质，菱形和正方形还具有对角线互相垂直的性质例1如图为某城市部分街道示意图，四边
10、形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GECD，GFBC，AD1 500 m，小敏行走的路线为BAGE，小聪行走的路线为BADEF.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为4 600m.解析：如图，连接GC.四边形ABCD为正方形，BCD90，ADCD，ADBCDB45.又GECD，DEG是等腰直角三角形DEGE.在AGD和CGD中， AGDCGD(SAS)，AGCG.GECD，GFBC，GECECFGFC90，四边形GECF是矩形EFCG，EFAG.BAADDEEFBAAGGEAD1 500 m.小敏共走了3 100 m，即BAAGGE3 100 m，小聪行走的路程为BAADD
11、EEF3 1001 5004 600(m)例2如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，连接AM并延长，交CD于点P.若PMPC，求AM的长解：四边形ABCD是边长为6的正方形，ADCD6，ADC90，ADMCDM45.在ADM和CDM中，ADMCDM(SAS)，DAMDCM.PMPC，CMPDCM，APDCMPDCM2DCM2DAM.APDDAM180ADC90，DAM30.设PDx，则AP2PD2x，PMPCCDPD6x，ADx6，解得x2.PM6x62，AP2x4，AMAPPM4(62)66.例1如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD上一动点，且BECF，
12、连接AE，BF交于点P，连接CP，则CP的最小值是( A )A22B32C2D.2解析：在正方形ABCD中，ABBC，ABCBCD90.在ABE和BCF中， ABEBCF(SAS)，BAECBF.CBFABF90，BAEABF90，APB90.如图，设AB的中点为G，连接GP，GC，则GPGBAB42.GPCPGC，当点C，P，G在同一条直线上时，CP有最小值GCGP.BC4，BG2，GC2.CP的最小值是22.故选A.例2如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(4，4)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；同时，点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴的正方
13、向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动连接BP，过点P作BP的垂线，与经过点Q且平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t s.(1)PBD的度数为45，点D的坐标为(t，t)(用含t的代数式表示)(2)当t为何值时，PBE为等腰三角形？(3)探索POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值解：(1)解析：由题意可得APOQ1tt，易得AOPQ.四边形OABC是正方形，AOABBCOC，BAOAOCOCBABC90.DQOC，PQDAOC90.DPBP，BPD90.BPA90DPQPDQ.AOPQ，AOAB，ABQP.在
14、BAP和PQD中， BAPPQD(AAS)APQD，BPPD.BPD90，BPPD，PBDPDB45.APt，QDt.点D的坐标为(t，t)(2)若PBPE，由BAPPQD得PBPD，显然PBPE，这种情况不存在，应舍去若EBEP，则BPEPBE45.BEP90.PEO90BECEBC.在POE和ECB中，POEECB(AAS)OECBOC.点E与点C重合点P与点O重合APAOt.B(4，4)，AOCO4.此时t4.若BPBE，在RtBAP和RtBCE中，RtBAPRtBCE(HL)APCE.APt，CEt.POEO4t.POE90，EP(4t)如图，延长OA到点F，使得AFCE，连接BF.在FAB和ECB中，FABECB(SAS)FBEB，FBAEBC.EBP45，ABC90，ABPEBC45.FBPABPFBAABPEBC45.FBPEBP.在FBP和EBP中，FBPEBP(SAS)FPEP.EPFPFAAPCEAP.EPtt2t.(4t)2t.解得t44.综上所述，当 t为4或44时，PBE为等腰三角形(3)POE的周长不随时间t的变化而变化由(2)可得EPCEAP，OPPEOEOPAPCEOEAOCO448.POE的周长是定值，这个定值为8.
