1、2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数在区间上连续，则是函数的（ ）跳跃间断点.可去间断点.无穷间断点.振荡间断点.（2）曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（ ）曲边梯形面积.梯形面积. 曲边三角形面积.三角形面积.（3）已知，则（A），都存在 （B）不存在，存在（C）不存在，不存在 （D），都不存在（4）设函数连续，若，其中为图中阴影部分，则（ ）（A） （B） （C） （D）（5）设为阶非0矩阵为阶单位矩阵若，则（ ）不可逆，
2、不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆. （6）设则在实数域上域与合同矩阵为（ ）. . （7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . （8）随机变量，且相关系数，则（ ） . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数在内连续，则 . （10）设，则.（11）设，则.（12）微分方程满足条件的解.（13）设3阶矩阵的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则.（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3、(15) （本题满分10分）求极限.(16) （本题满分10分） 设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时.（1）求（2）记，求.(17) （本题满分11分）计算其中.(18) （本题满分10分）设是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数，有；（2）证明是周期为2的周期函数(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（1）求证;（2）为何值，方程组有唯一解;（
4、3）为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，证明（1）线性无关；（2）令，求.（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（1）求；（2）求的概率密度（23） （本题满分11分）是总体为的简单随机样本.记，.（1）证 是的无偏估计量.（2）当时 ，求.2008年考研数学（三）真题解析一、选择题(1)【答案】【详解】 ，所以是函数的可去间断点(2)【答案】【详解】其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积(3)【答案】【详解】，故不存在所以存在故选.(4)【答案】【详解
5、】用极坐标得 所以 .(5)【答案】【详解】，.故均可逆(6)【答案】【详解】记，则又，所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值.又和为同阶实对称矩阵，所以和相似由于实对称矩阵相似必合同，故正确.(7)【答案】【详解】.(8)【答案】 【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、由，得 所以 所以. 排除. 故选择.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知，所以因为 ，又因为在内连续，必在处连续所以 ，即.(10)【答案】【详解】，令，得所以 .(11)【答案】【详解】.(12)【答案】【详解】由，两端积分得，所以，又，所以.(13)【答案】3【详解】的特征值为，所以的特征值为
6、，所以的特征值为，所以.(14)【答案】【详解】由，得，又因为服从参数为1的泊松分布，所以，所以，所以 .三、解答题(15) 【详解】方法一：方法二：(16) 【详解】(I) (II) 由上一问可知，所以 所以 .O 0.5 2 xD1D3 D2(17) 【详解】 曲线将区域分成两个区域和，为了便于计算继续对区域分割，最后为(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数，令，则所以 (II) 由(1)知，对任意的有，记，则. 所以，对任意的，所以是周期为2的周期函数.方法二：(I) 设，由于，所以为常数，从而有. 而，所以，即.(II) 由(I)知，对任意的有，记，则 ， 由于对
7、任意，所以 ，从而 是常数即有 所以是周期为2的周期函数.(19) 【详解】方法一：设为用于第年提取万元的贴现值，则故 设 因为 所以 (万元)故 (万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第年取款后的余款是，由题意知满足方程， 即 (1)(1)对应的齐次方程 的通解为 设(1)的通解为 ，代入(1)解得 ，所以(1)的通解为 由，得 故至少为3980万元(20) 【详解】(I)证法一：证法二：记，下面用数学归纳法证明当时，结论成立当时，结论成立假设结论对小于的情况成立将按第1行展开得 故 证法三：记，将其按第一列展开得 ，所以 即 (II) 因为方程组有唯一解，所以由知，又，故由克莱姆法
8、则，将的第1列换成，得行列式为所以 (III) 方程组有无穷多解，由，有，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为，所以方程组有无穷多解，其通解为为任意常数(21)【详解】(I)证法一：假设线性相关因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)，又，整理得：则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.证法二：设存在数，使得 (1)用左乘(1)的两边并由得 (2)(1)(2)得 (3)因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，代入(1)得，又由于，所以，故线性无关.(II) 记，则可逆，所以 .(22)【详解】 (I) (II) 所以 (23) 【详解】(I) 因为，所以，从而因为 所以，是的无偏估计(II)方法一：，所以因为，所以，有，所以因为，所以，又因为，所以,所以所以 .方法二：当时(注意和独立)15
