1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数由方程确定,则=_.(2)函数在点处的梯度=_.(3)设 ,则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_.(4)微分方程的通解为=_.(5)设其中则矩阵的秩=_. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当时,函数的极限(A)等于2(B)等于0(C)为(D)不存在但不为(2)级数常数(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛(D)收敛性与有关 (3)在曲线的所有切线中,与平
2、面平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设则使存在的最高阶数为(A)0(B)1 (C)2(D)3 (5)要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为(A)(B) (C)(D) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求(2)设其中具有二阶连续偏导数,求(3)设 ,求 四、(本题满分6分)求微分方程的通解. 五、(本题满分8分)计算曲面积分其中为上半球面的上侧. 六、（本题满分7分）设证明对任何有 七、（本题满分8分）在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点问当、取何值时,力所做的功最大?并求出的最大值. 八、（本题满分7分）设向量组线性相
3、关,向量组线性无关,问:(1) 能否由线性表出?证明你的结论.(2) (2)能否由线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵的特征值为对应的特征向量依次为 又向量(1)将用线性表出.(2)求为自然数). 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知则事件、全不发生的概率为_.(2)设随机变量服从参数为1的指数分布,则数学期望=_. 十一、（本题满分6分）设随机变量与独立服从正态分布服从上的均匀分布,试求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,
4、满分15分.)(1)【答案】【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.方程两边对求导,将看做的函数,得.解出,即.【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 .2.两函数乘积的求导公式：.(2)【答案】【解析】对函数求各个分量的偏导数,有；.由函数的梯度(向量)的定义,有,所以 .【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为 或 .(3)【答案】【解析】是区间的端点,由收敛性定理狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在处收敛于.【相关知识点】收敛性定理狄利克雷充分条件：函数在区间
5、上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；() 只有有限个极值点.则在上的傅里叶级数收敛,而且(4)【答案】为任意常数【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于,方程两边同乘,得.故通解为为任意常数.(5)【答案】1【解析】因为矩阵中任何两行都成比例(第行与第行的比为),所以中的二阶子式全为0,又因,知道,中有一阶子式非零.故.【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在阶子式不为零,而所有的阶子式全为零时,则此矩阵的秩为.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】对于函数在给定点的极限是否存在需要判定左极限和右极限是否存在且相等,若相等,则函数
6、在点的极限是存在的., ,故当时函数没有极限,也不是.故应选(D).(2)【答案】(C)【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小,又因为级数：当时收敛；当时发散.所以有 收敛.收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).注：对于正项级数,确定无穷小关于的阶(即与级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.(3)【答案】B【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的值.求曲线上的点,使该点处的切向量与平面的法向量垂直,即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量,即,解得 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)因此,只有两条这种
7、切线,应选(B).(4)【答案】(C)【解析】因处处任意阶可导,只需考查,它是分段函数,是连接点.所以,写成分段函数的形式,有对分段函数在对应区间上求微分,再考查在连接点处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.,即 同理可得 ,即 .对于有所以在不可导,不存在,应选(C).(5)【答案】(A)【解析】,向量对应的分量不成比例,所以,是两个线性无关的解,故.由知.再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组,有定理如下:对矩阵按列分块,有,则的向量形式为那么, 有非零解 线性相关 三、(本题共3小题,每小题5分
8、,满分15分.)(1)【解析】由等价无穷小有时,原式=,上式为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 原式.(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求,再求.由复合函数求导法则得,.【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点的两个偏导数存在,且有；.(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令,
9、则当时,；当时,于是四、(本题满分6分.)【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程有两个根为,而非齐次项为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解,代入方程可得,故所求通解为,其中为常数.【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设是二阶线性非齐次方程的一个特解.是与之对应的齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根,则通解为(2) 两个相等的实数根,则通
10、解为(3) 一对共轭复根,则通解为其中为常数.3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为,其中与是次多项式,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.五、(本题满分8分)【解析】将原式表成,则.以考虑用高斯公式来求解,但曲面不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面,法向量朝下,与围成区域,与取的外法向量.在上用高斯公式
11、得 .用球坐标变换求右端的三重积分得.注意垂直于平面与平面,将积分投影到平面上,所以左端上的曲面积分为 (极坐标变换).因此 .【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数、在上具有一阶连续偏导数,则有或 这里是的整个边界曲面的外侧,、是在点处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：其中为向量与轴正向的夹角,；为从正轴来看自轴按逆时针方向转到向量在平面上投影线段的角,；为向量的模长,.球面坐标系中的体积元素为则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：六、(本题满分7分)【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.不妨
12、设,要证的不等式是.在上用中值定理,有；在上用中值定理,又有由所以单调减,而,有,所以,即.证法二：用函数不等式来证明.要证,构造辅助函数,则.由单调减,.由此,.改为即得证.【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.七、(本题满分8分)【解析】(1)先求出在变力的作用下质点由原点沿直线运动到点时所作的功的表达式.点到点的线段记为,则.(2)计算曲线积分：的参数方程是 从到,.化为最值问题并求解：问题变成求在条件下的最大值与最大值点.用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为,则有解此方程组：对前三个方程,分别乘以得 (时)代入第四个
13、方程得 .相应的 .当时相应的得 .因为实际问题存在最大值,所以当时取最大值.【相关知识点】拉格朗日乘子法：要找函数在附加条件下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数其中为参数.求其对与的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：由这方程组解出及,这样得到的就是函数在附加条件下的可能极值点.八、(本题满分7分)【解析】(1) 能由线性表出.因为已知向量组线性无关,所以线性无关,又因为线性相关,故能由线性表出.(2) 不能由线性表出,反证法：若能由线性表出,设 .由(1)知, 能由线性表出,可设,那么代入上式整理得.即能由线性表出,从而线性相关,这与已知矛盾.因此,不能由线性表出.【相关知识点
14、】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数,使,则称线性相关；否则,称线性无关九、(本题满分7分)【解析】(1)设,即是求此方程组的解.对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以加到第三行上,第三行自乘,有,第三行乘以、分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以加到第一行上,有 增广矩阵.解出,故.(2) 由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得,再一直这样操作下去,有.因为,故.按特征值定义知是的特征值,且为相应的特征向量.所以有,据(1)结论,有,于是 .【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称
15、是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)【解析】由条件概率和乘法公式：从,可知,由加法公式：,故 .(2)【解析】依题意,随机变量服从参数为的指数分布,故的概率密度为根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出.十一、(本题满分6分)【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：首先,因,所以的密度函数为,因服从上的均匀分布,故的密度函数为.因为随机变量与相互独立,所以二维随机变量的联合概率密度为.要求的密度函数,先求的分布函数 .(由标准正态分布来表示一般正态分布)求出的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,的密度函数为其中是标准正态分布的概率分布密度.由于是偶函数,故有于是 .最终用标准正态分布函数表示出来的概率分布密度.方法二：用卷积公式直接计算：直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求更为简单.因为随机变量与相互独立,由卷积公式.最终用标准正态分布函数表示出来的概率分布密度.
