1、1998 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、填空题一、填空题（1）20112limxxxx+=.【答】14.【详解 1】用四则运算将分子化简，再用等价无穷小因子代换，()()()220220220114lim112211lim4112lim.24xxxxxxxxxxxx+=+=原式 因221112xx【详解 2】采用洛必达法则，2000011112 12 1limlim24111 lim41112 12 1 lim.44xxxxxxxxxxxxxxxx+=+=+=0000原式 注：()2110 xx可求出【详解 3】
2、采用()1 u+的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当0u 时()()()22111,2!uuuo u+=+所以0 x 时 ()()22221111,281111,28xxxo xxxxo x+=+=+于是()()2222022011111122828lim1 lim41 4xxxxxxo xxo xx+=+=原式=（2）设()()1,zf xyyxyfx=+具有二阶连续导数，则2zx y=.【答】()()()yfxyxyyxy+.【详解】()()()()()()()()()()()221,11 zyf xyfxyyxyxxxzfxyfxyyfxyxyyxyx yxxyfxyxyyx
3、y=+=+=+（3）设l为椭圆221,43xy+=其周长记为,a则()22234lxyxy ds+=?.【答】12.a【详解】以l为方程221,43xy+=即223412xy+=代入，得()()2223421221212,lllxyxy dsxydsxydsaa+=+=+=?其中第一个积分，由于l关于x轴对称，而xy关于y为奇函数，于是lxyds?0.（4）设A是n阶矩阵，*0,AA为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则()2*AE+必有特征值 .【答】21A+.【详解】设()0,Axx x=则()111,0AA xxA A xxx=即 *,AA xx=从而 ()22*,AAxx=
4、()22*1,0,AAE xx x+=+可见 ()2*AE+必有特征值 21A+（5）设平面区域D由曲线1yx=及直线20,1,yxxe=所围成，二维随机变量(),X Y在区域D上服从均匀分布，则(),X Y关于X的边缘概率密度在2x=处的值为 .【答】14.【详解】区域D的面积为 22111112.eexDSdxdydxx=于是 (),X Y的联合概率密度为 ()()1,20,x yDf x y=其他 其关于x的边缘概率密度为()()12011,1220,xXXdyxefxfx dyx+=其他 故 ()124Xf=.二、选择题二、选择题（1）设()f x连续，则()220 xdtf xtdt
5、dx等于（A）()2xf x (B)()2xf x （C）()22xf x （D）()22xf x【】【答】应选（A）.【详解】作变量代换22uxt=，则()()()()()22022002211221 22 xxxdddtf xtdtf uduf u dudxdxdxf xxxf x=（2）函数()()232f xxxxx=不可导点的个数是（A）3.（B）2.（C）1.（D）0.【】【答】应选（B）.【详解】因为()()()()()()2322111,f xxxxxxxx xx=+可见()f x在0,1x=处不可导，而在1x=处是可导的，故 ()f x的不可导点的个数为 2.（3）已知函数(
6、)yy x=在任意点x处的增量2,1y xyx=+?且当0 x?时，是x?的高阶无穷小，()0y=，则()1y等于（A）2.（B）.（C）4e.（D）4e【】【答】应选（D）.【详解】由2,1y xyx=+?，有 2.1yyxxx=+?令0 x?，得 21yyx=+，解此微分方程并利用初始条件由()0,y=得arctanxye=故 ()arctan41.xyee=（4）设矩阵111222333abcabcabc是满秩的，则直线333121212xaybzcaabbcc=与直线 111232323xaybzcaabbcc=（A）相交于一点.（B）重合.（C）平行但不重合.（C）异面.【】【答】应
7、选（A）.【详解】设矩阵111222333abcabcabc是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵 121212232323333aabbccaabbccabc仍是满秩的，于是两直线的方向向量 11212122232323,Saa bb ccSaa aa cc=线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合.又()111,a b c、()333,a b c分别为两直线上的点，其连线向量为:1313131,Saa bb cc=,满足312SSS=+.可见三向量123,S SS共面，因此12,S S必相交，即两直线肯定相交.（5）设AB、是两个随机事件，且()()()()01,0,|P AP BP B A
8、P B A=,则必有（A）()()|P A BP A B=(B)()()|P A BP A B(C)()()()P ABP A P B=.(D)()()()P ABP A P B.【】【答】应选（C）.【详解】由条件概率公式及条件()()|P B AP B A=，知()()()()P ABP ABP AP A=于是有 ()()()()()()()1P ABP AP A P ABP AP BP AB=可见 ()()()P ABP A P B=故选（C）.三、三、求直线11:111xyzl=在平面:210 xyz+=上投影直线0l的方程，并求0l绕y轴旋转一周所成曲面的方程.【详解 1】过直线l作
9、一垂直于的平面1，其法向量既垂直于l的方向向量1,1,1s=，又垂直于的法向量1,1,2n=，可用向量积求得 111132.112ijknsnijk=又()1,0,1为直线l上的点，所以该点也在平面1上，由点法式得1的方程为()()13210,xyz=即 3210 xyz+=.从而0l的方程为 0210:3210 xyzlxyz+=+=将0l写成参数y的方程：()2112xyzy=于是直线绕y轴旋转所得旋转曲面方程为：()()22221212xzyy+=+即 2224174210.xyzy+=【详解 2】用平面束方法，直线11:111xyzl=的方程可写为 1010 xyyz=+=于是过l的平
10、面方程可写成()110,xyyz+=即 ()110.xyz+=在其中求出平面1，使它与垂直，得()1120,=解得2,=于是1的方程为()()13210,xyz=即 3210 xyz+=以下同解法一.四、四、确定常数,使在右半平面0 x上的向量()()()42242,2A x yxy xyixxyj=+为某二元函数(),u x y的梯度，并求(),u x y.【详解】令()()()()42242,2,P x yxy xyQ x yxxy=+=+由题设，有 QPxy=即 ()()42410.x xy+=可见，当且仅当1=时，所给向量场时梯度场，在0 x在半平面内任取一点，比如点()1,0作为积分
11、路径的起点，则根据积分与路径无关，有()244210220,0 arctan.xyxxu x ydxCxxyyCx=+=+其中C为任意常数.五、五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m体积为,B海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为()0k k.试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式().yy v=【详解】取沉放点为原点,O Oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 22,d ymmgBkvdt=这是
12、可降阶的二阶微分方程，其中dyvdt=.令,dyvdt=则 22,d ydv dydvvdtdy dtdy=于是原方程可化为,dvmvmgBkvdy=分离变量得 ,mvdydvmgBkv=积分得 ()()2lnm mgBmyvmgBkvCkk=+再根据初始条件00,|yv=得()()2ln,m mgBCmgBkvk=故所求函数关系为 ()2ln.m mgBmmgBkvyvkkmgB=六、六、计算()()212222,axdydzzadxdyxyz+其中为下半球面222zaxy=的上侧，a为大于零的常数.【详解 1】添加一平面区域后用高斯公式进行计算()()()22122221.axdydzza
13、dxdyIaxdydzzadxdyaxyz+=+补一块有向平面2221:0 xyaz+=，其侧与z轴负向一致，于是有()()()()112222244204003111 321 221 22.2DaarIaxdydzzadxdyaxdydzzadxdyaaaz dVa dxdyaazdVaaadrdrzdzaa+=+=+=+=?【详解 2】直接分块计算：()()()()221222221211.axdydzzadxdyIaxdydzzadxdyaxyzxdydzzadxdyIIa+=+=+=+其中 22212,DyzIxdydzaxy dydz=yzD为yOz平面上的半圆：222,0.yzaz
14、+利用极坐标，得 ()()22231022222222.311 ,xyaDIdar rdraIzadxdyaaaxydxdya=+=xyD为xOy平面上的圆域：22xya+。利用极坐标，得 ()222223200122,6aIdaa arrrdraa=故 312.2IIIa=+=七、七、求2sinsinsinlim.1112nnnnnnn+?【详解】由于 sinsinsin,1,2,3,.1iiinnnininnnn=+?于是 111sin11sinsin.1nnniiiiniininnnnnnn=（否则级数()11nnna=收敛）.又正项级数 na单调减少，有11,11nnnaa+而11,1
15、a令1,1nnnba=+则 11limlim1,11nnnnbaa=，证明（1）中的0 x试唯一的.【详解】（1）令()()1,xxxf t dt=则()x在闭区间0,1上连续，在开区间()0,1内 可导，又()()010.=由罗尔定理知，存在()00,1,x 使()00.x=即 ()()()010000.xxx f xf t dt=也即 ()()0100.xx f xf x dx=（2）令()()()1,xF xxf xf t dt=则 ()()()()()()20,Fxxfxf xf xf xxfx=+=即 ()F x在()0,1内严格单调增加，从而()0F x=的点0 xx=必唯一，故（
16、1）中的0 x试唯一的.十、十、已知二次曲面方程2222224,xayzbxyxzyz+=可以经过正交变换 xyPz =化为椭圆柱面方程2244,+=求,a b的值和正交矩阵.P【详解】由题设知，矩阵111111bAba=与000010004B=相似，于是有 EAEB=，即 11001010111004bba=解得 3,1ab=.此时，111131111A=，特征值为 1230,1,4.=解()00,EA x=得属于特征值10=的特征向量为()11,0,1T=.解()0,EA x=得属于特征值21=的特征向量为()21,1,1T=.解()40,EA x=得属于特征值34=的特征向量为()11,
17、2,1T=.将123,单位化，得 31212312311111121,0,22333666TTT=令 11123612036111236P=，即为所求得正交矩阵.十一、十一、设A是n阶矩阵，若存在正整数,k使线性方程组0kA=有解向量,且10kA，证明：向量组1,kAA?是线性无关的.【详解】设有常数011,k?使得 10110,kkAA +=?则有 ()110110,kkkAAA +=?从而 100.kA=由题设10kAx，所以 00.=类似地可证明1210,k=?因此向量组1,kAA?是线性无关的.十二、十二、已知线性方程组（I）11 11221,2221 12222,221 122,22
18、000nnnnnnnnna xa xaxa xa xaxa xa xax+=+=+=?的一个基础解系为()()()11121,221222,212,2,TTTnnnnnnbbbbbbbbb?试写出线性方程组 （II）11 11221,2221 12222,221 122,22000nnnnnnnnnb xb xbxb xb xbxb xb xbx+=+=+=?的通解，并说明理由.【详解】（II）的通解为()()()111121,2221222,212,2,TTTnnnnnnnyc aaacaaacaaa=+?其中12,nc cc?为任意常数.理由：方程组（I）、（II）的系数矩阵分别记为,A
19、B，则由题设可知,TABO=于是()TTTBAABO=,可见A的n个行向量的转置为（II）的n个解向量.由于B的秩为,n故（II）的解空间维数为()22.nr Bnnn=又A的秩为2n与（I）的解空间维数之差，即为,n故A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II）的一个基础解系，于是得到（II）的上述通解.十三、十三、设两个随机变量,X Y相互独立，且都服从均值为 0，方差为12的正态分布，求随机变量XY的方差.【详解】令ZXY=，由于,X Y相互独立，且都服从正态分布，因此Z也服从正态分布，且()()()()()()0,1,E ZE XE YD ZD XD Y=+=于是()0,1Z
20、XYN=()()()()2222222 1D XYD ZE ZE ZE ZE ZD ZE ZE ZE Z=+=而 2222012222zzE Zzedzzedz+=故 21.D XY=十四、十四、从正态总体()23,4,6N中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间()1.4,5.4内的概率不小于 0.95，问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表()2212tzzedt=z 1.28 1.645 1.96 2.33()z 0.900 0.950 0.975 0.990 【详解】以X表示该样本均值，则 ()3.40,16XNn，从而 1.45.423.423.423.42210.9
21、5,663PXPXXnnP XPn=故 0.975,3n 由此得1.963n，即()21.96 334.57,n 所以 n至少应取 35.十五、十五、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生地成绩，算得平均成绩为 66.5 分，标准差为 15 分，问在显著性水平 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生得平均成绩为 70 分？并给出检验过程.附表：t分布表 ()()pP t ntnp=()ptn P n 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 【详解】设该次考试得考生成绩为,X()2,XN 把从X中抽取的容量为n的样本均值记为,X样本标准差为,S则本题是在显著性水平0.05=下检验假设：01:70,:70,HH=拒绝域为()12701.Xtntns=由()0.97536,66.5,15,36 12.0301,nXst=算得 66.570361.42.030115t=所以接受假设0:70H=，即在显著性水平 0.05 下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分.
