1、2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 2001 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、填空题一、填空题(1)设()12sincosxyecxcx=+（12,c c为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的同解，则该方程为 .【答】220yyy+=.【详解】方法一 看出所给解对应的特征根为1,21 i=，从而特征方程为()()1,i+()()21220,i=+=于是所求方程为220yyy+=.方法二 将已知解代入0ybycy+=，得()()()()12121221sin
2、2cos2xxexb cccccexb ccccc+.由 于sinxex与cosxex线性无关，故()()121212212,2b ccccc b ccccc+=+=，解得2,2bc=显然解法 2 较解法 1 麻烦.方法三、方法三、由通解()12sincosxyecxcx=+，求得()()()()121221sincos2sin2cosxxyeccxccxyecxcx=+=+从这三个式子消去1c与2c，得220yyy+=（2）设222,rxyz=+则()()1,2,2|div gradr=.【答】2.3【详解】根据定义有()2222222333322rrrxyzgradrijkijkxyzrr
3、rxyzrxryrzrrrrdiv gradrxyzrrrrr=+=+=+=+=-2-于是 ()()()1,2,2222223122|div gradr=+(3)交换二次积分的积分次序：()0112,ydyf x y dx=.【答】()2110,xdxf x y dy.【详解】因为 ()()01021211,yydyf x y dxdyf x y dx=积分区域为 (),|10,12,Dx yyyx=又可将D改写为(),|12,12,Dx yxxy=于是有()()()()010220121112110,yyxxdyf x y dxdyf x y dxdxf x y dydxf x y dy=(
4、4)设矩阵A满足24AAEO+=,其中E为单位矩阵，则()1AE .【答】()122AE+.【答】由题设，24AAEO+=，有 222AAEE+=，()()22,AEAEE+=也即 ()()12,2AEAEE+=故 ()1AE()122AE+（5）设随机变量X的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计()2P XE X .【答】12.【详解】根据切比雪夫不等式有()()21222D XP XE X=-3-二、选择题二、选择题（1）设函数()f x在定义域内可导，()yf x=的图形如右图所示，则导函数()yfx=的图形为 【】【答】应选（D）【详解】从题设图形可见，在y轴的左侧，曲线()yf x
5、=是严格单调增加的，因此当0 x 对应()yfx=图形必在x轴的上方，由此可排除（A），（C）；又()yf x=的图形在y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数()yfx=图形在y轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.故正确答案为（D）.（2）设函数(),f x y在点()0,0附近有定义，且()()0,03,0,01xyff=，则（A）()0,03.|dzdxdy=+（B）曲面(),zf x y=在点()()0,0,0,0f的法向量为3,1,1（C）曲线(),0zf x yy=在点()()0,0,0,0f的切向量为1,0,3 -4-（D）曲线(),0zf x yy=在点()()0,
6、0,0,0f的切向量为3,0,1【】【答】应选（C）【详解】题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）；至于（B），（C）,(D)则需要通过具体的计算才能进行区分，令()(),F x y zzf x y=，则有,1xxyyzFfFfF=因此过点()()0,0,0,0f的法向量为3,1,1，可排除（B）；曲线点(),0zf x yy=可表示为参数形式：()0,0 xxyzf x=，其中点()()0,0,0,0f的切向量为()1,0,0,01,0,3xf=故正确选项为（C）.（3）设()00f=，则()f x在点0 x=可导的充要条件为（A）()201lim1 coshhfh存
7、在.（B）()01lim1hhfeh存在.（C）()201limsinhhf hh存在.（D）()()01lim2hhff hh存在【】【答】应选（B）.【详解】因为()()()001lim11limln 1hhhxf xxfeexhxx=可 见，若()f x在 点0 x=可 导，则 极 限()01lim1hhfeh一 定 存 在；反 过 来，若()01lim1hhfeh存在，则()()()00011lim1limlim1hhhhxhhfefef xhxexheh=存在，即()f x在点0 x=可导，因此正确选项为（B）.-5-至于（A），（C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立
8、.比如，(),f xx=在0 x=处不可导，但 ()()2220002230001 cosh11 cosh1lim1 coshlimlim2sinh11 sinhlimsinhlimlim0hhhhhhfhhhhf hhhhh=均存在，可排除（A）、（C）.又如()1,00,0 xf xx=在0 x=处不可导，但()()0011 1lim2hlim0hhff hhh=存在，进一步可排除（D）.（4）设1 1 1 140001 1 1 10000,1 1 1 100001 1 1 10000AB=，则A与B（A）合同且相似 （B）合同但不相似（C）不合同但相似 （D）不合同且不相似【】【答】应选
9、(A)【详解】因为 A是实对称矩阵，且其特征值为：12344,0,=故存在正交矩阵,Q使得 14000000000000000TQ AQQ AQ=可见，则A与B既合同又相似.(5)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（A）-1 （B）0 （C）12 （D）1【】-6-【答】应选（A）【详解】设X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则有YnX=，因此X和Y的相关系数为1r=三、三、求2arctanxxedxe【详解】()()()222222arctan1arctan21 arctan211 arctanarctan2xxxxxxxxxxxxxe
10、dxe d eedeeeeeeeeeC=+=+四、四、设函数(),zf x y=在点()1,1处可微，且()()()()()()1,11,11,11,2,3,.|fffxf x f x xxy=求()31|xdxdx=【详解】由题设，有()()()()11,1,11,11,fff=()()()()()()()()()()()()3211213 3,3 123 2351|xxxyxyxdxdxxdxdxxfx f x xfx f x xfx xfx x=+=+=五、五、设()21arctan,01,0 xx xf xxx+=，试将()f x展开成x的幂级数，并求级数()21114nnn=的和.【
11、详解】因()()22111,1,11nnnxxx=+-7-故 ()()21011arctanarctan,1,121nxnnxx dxxxn+=+于是()()()()()()212211221121111212111 1212121 1,1,121nnnnnnnnnnnnnnnf xxxnnxxnnxxn+=+=+=+因此 ()()2111111.1 4242nnfn=六、六、计算()()()22222223LIyz dxzxdyxydz=+?，其中L是平面2xyz+=与柱面1xy+=的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向.【详解 1】记S为平面2xyz+=上L所围成部分的上侧，D为S在xOy
12、坐标面上的投影.由斯托克斯公式得 ()()()()()2426262 4233 26 12 24.SSDDIyz dydzzx dzdxxy dxdyxyz dSxydxdydxdy=+=+=+=【详解 2】转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2xyz+=被L所围成的部分为S，按斯托 克 斯 公 式 的 规 定，它 的 方 向 向 上，S在xOy平 面 上 的 投 影 域 记 为(),|1.D Dx yxy=+S为2,1,1,zzzxyxy=于是 -8-()()()()()()()()22222223 242626 24,26,22,1 242326 1224LSSSDDIyz dxzxdyxy
13、dzyz dydzzx dzdxxy dxdyzzyzzxxydxdyxyxyz dxdyxydxdydxdy=+=+=+=+=?其中()000DDDxy dxdyxdxdyydxdy=，用得性质：x为x得奇函数，D对称于y轴；y为y的奇函数，D对称于x轴；积分均应为零.【详解 3】降维法，取S如解法 1 中定义，代入I中，()()()()()()()()()()1122222222222223 44444328888 2624LLDIyxydxxyxdyxydxdyyxxyxydxyxxyxydyxydxdy=+=+=?格林公式 其中，1L为L在xOy平面上投影，逆时针.【详解 4】逐个投影
14、法，由斯托克斯公式()()12422,SDIyz dydzyz dydz=+其中(),|21,yzDy zyzy=+分别令0,0,20,20,yyyzyz可得到yzD的 4 条边的方程：右：23yz+=；上：3z=；左：21yz+=；下：1.z=于是()()()1332111122216zzIdzyz dy=+=类似地，()22238SIx dzdx=+=()320SIxy dxdy=+=（由奇、偶数及对称性）12324IIII=+=-9-【详解 5】参数法.:1,2Lxyzxy+=当0 x，0y 时，1:1,2,Lyx zxy x=从 1 到 0.()()()()()()1222222022
15、12311217.3Lyz dxzxdyxydzxx+=+=当20,0,:1,1 2,xyLyx zx x=+=从 0 到-1()210243Lx=+=当30,0,:1,3,xyLyx zx=从1 到 0()30217922263Lxxdx=+=当40,0,:1,32,xyLyxzx x=从 0 到 1()41018123.Lxdx=+=123424LLLLLI=+=七、七、设()yf x=在()1,1内具有二阶连续导数且()0,fx 试证：（1）对于()1,1内的任意0,x 存在唯一的()()0,1x，使()()()0f xfxfx x=+成立；（2）()01lim.2xx=【详解 1】（1
16、）任给非零()1,1x，由拉格朗日中值定理得()()()()()001f xfxfx xx=+，则()fx在()1,1内严格单调且增加，故唯一.-10-（2）对于非零()1,1x，由拉格朗日中值定理得()()()()()001f xfxfx xx=+的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为()01PP，从该总体中抽取简单随机样本()122,2nXXXnL其样本均值为2112niiXXn=，求统计量()212nin iiYXXX+=+的数学期望().E Y -17-【详解】记121111,nnin iiiXXXXnn+=则有122XXX=+因此 ()()()()()()()()()()()()()22121122112212212112222 2 0 11 21nnin iin iiiniin in iinnin iiiE YEXXXEXXXXEXXXXXXXXEXXEXXnnn+=+=+=+=+=+=+=+=
