1、第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1，得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.
2、所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法跟踪训练1 已知椭圆T：1(ab0)的一个顶点A(0,1)，离心率e，圆C：x2y24，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PMPN.(1)解由题意可知b1，即2a23c2，又a2b2c2，联立解得a23，b21.椭圆方程为y21.(2)证明当P点横坐标为时，纵坐标为1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PMPN.当P点横坐标不为时，设P(x0，
3、y0)，则xy4，设kPMk，PM的方程为yy0k(xx0)，联立方程组消去y得(13k2)x26k(y0kx0)x3k2x6kx0y03y30，依题意36k2(y0kx0)24(13k2)(3k2x6kx0y03y3)0，化简得(3x)k22x0y0k1y0，又kPM，kPN为方程的两根，所以kPM，PN，所以kPMkPN1.所以PMPN.综上知PMPN.题型二探索性问题例2 (2018苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)(1)若QF2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率
4、分别为k1，k2.是否存在常数，使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)因为a24，b23，所以c1，所以F的坐标为(1,0)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，代入椭圆方程，得(43m2)y26my90，则y1，y2.若QF2PF，则2，即2，3m66m12，解得m(舍负)，故直线l的方程为x2y0.(2)由(1)知，y1y2，y1y2，所以my1y2(y1y2)，所以 ，故存在常数，使得k1k2.思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨
5、论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法跟踪训练2 (2018扬州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2(y2)21，且圆C与y轴交于M，N两点(点N在点M的上方)，直线l：ykx(k0)与圆C交于A，B两点(1)若AB，求实数k的值；(2)设直线AM，直线BN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数a使得k1ak2恒成立？若存在，求出a的值若不存在，请说明理由；(3)若直线AM与直线BN相交于点P，求证：点P在一条定直线上(1)解圆C：x2(y2)21，圆心C(0,2)，半径
6、r1，直线l：kxy0(k0)与圆C相交于A，B两点，且AB，圆心到l的距离为d ，解得k2.k0，k2.(2)解圆C与y轴交于M，N两点(点N在点M上方)，M(0,1)，N(0,3)，AM：yk1x1，BN：yk2x3，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AM与圆C方程联立得化简得(k1)x22k1x0，A，同理可求得B，O，A，B三点共线，且， 0，化简得(3k1k2)(k1k21)0，k1k210，3k1k20，即k1k2，存在实数a，使得k1ak2恒成立(3)证明设P(x0，y0)，且k1k2，由(2)知k23k1，代入得y0为定值点P在定直线y上1(2018苏州期末)已知椭圆
7、C：1(ab0)的离心率为，且过点P(2，1)(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值解(1)因为椭圆C的离心率为，所以，即a24b2，所以椭圆C的方程可化为x24y24b2，又椭圆C过点P(2，1)，所以444b2，解得b22，a28，所以所求椭圆C的标准方程为1.(2)由题意知，直线PA与PB的斜率都存在，设直线PA的方程为y1k(x2)，联立方程组消去y，得(14k2)x28(2k2k)x16k216k40，所以x1，因为直线PQ平
8、行于x轴且平分APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，设直线PB的方程为y1k(x2)，同理求得x2.又所以y1y2k(x1x2)4k，即y1y2k(x1x2)4kk 4k，x1x2.所以直线AB的斜率为kAB.2(2018江苏省海安高级中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y2)24，圆C2：(xm)2(ym5)22m28m10(mR，且m3)(1)设P为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆C1与圆C2的一条切线，切点分别为T1，T2，使得PT1PT2，试求出所有满足条件的点P的坐标；(2)若斜率为正数的直线l平分圆C1，求证：直线l与圆C2总相交(1)解设点P的坐
9、标为(x0，y0)，圆C1与圆C2的半径分别为r1，r2，由题意得PCrPCr，即(x03)2(y02)24(x0m)2(y0m5)2(2m28m10)，化简得x0y010，因为P为坐标轴上的点，所以点P的坐标为(0，1)或(1,0)(2)证明依题意知直线l过圆C1的圆心(3，2)，可设直线l的方程为y2k(x3)(k0)，即kxy3k20，则圆心C2(m，m5)到直线l的距离为，又圆C2的半径为，“直线l与圆C2总相交”等价于“mR，且m3，”，即 ，记y，整理得(y2)m22(3y4)m9y100，当y2时，得m2；当y2时，由判别式2(3y4)24(y2)(9y10)0，解得y1.综上得
10、y，m3的最小值为1，所以由可得0.故直线l与圆C2总相交3(2018宿州检测)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在直线l0：xx0(x02)，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足恒成立，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，ca，又44，a2b25，由b2a2c2a2，解得a2，b1，c.椭圆C的标准方程为y21.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l0为任意直线都满足要求；当直线l的斜率存在
11、时，设其方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨令x11x2)，则dAx0x1，dBx0x2，PA(x11)，PB(1x2)，解得x0.由得(14k2)x28k2x4k240，由题意知，0显然成立，x1,2，x1x2，x1x2，x04.综上可知存在直线l0：x4，使得A，B到直线l0的距离dA，dB满足恒成立4已知椭圆1(ab0)的长轴长与短轴长之和为6，椭圆上任一点到两焦点F1，F2的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB：yxm与椭圆交于A，B两点，C，D在椭圆上，且C，D两点关于直线AB对称，问：是否存在实数m，使ABCD，若存在，求出m的值；若不存
12、在，请说明理由解(1)由题意，2a4,2a2b6，a2，b1.椭圆的标准方程为y21.(2)C，D关于直线AB对称，设直线CD的方程为yxt，联立消去y，得5x28tx4t240，64t245(4t24)0，解得t25，设C，D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1,2，x1x2，x1x2，设CD的中点为M(x0，y0)，M，又点M也在直线yxm上，则m，t，t25，m2.则CD|x1x2| .同理AB .ABCD，AB22CD2，2t2m25，m2b0)的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点(1)求直线ON的斜率kON；(2
13、)求证：对于椭圆C上的任意一点M，都存在0,2)，使得cos sin 成立(1)解设椭圆的焦距为2c，因为，所以，故有a23b2.从而椭圆C的方程可化为x23y23b2. 由题意知右焦点F的坐标为(b,0)，据题意有AB所在的直线方程为yxb.由得4x26bx3b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点N(x0，y0)，所以x1,2，所以x0，y0x0bb.所以kON.(2)证明显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立设M(x，y)，由(1)中各点的坐标有(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1
14、y2.又因为点M在椭圆C上，所以有(x1x2)23(y1y2)23b2，整理可得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2. 由(1)可得x1x2，x1x2.所以x1x23y1y2x1x23(x1b)(x2b)4x1x23b(x1x2)6b23b29b26b20.又点A，B在椭圆C上，故有x3y3b2，x3y3b2.将，代入可得221.所以，对于椭圆上的每一个点M，总存在一对实数，使等式成立，且221.所以存在0,2)，使得cos ，sin .也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在0,2)，使得等式cos sin 成立6.如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴C
15、D上，且1. (1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得 为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且 1，于是解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(4k21)x28kx40，其判别式(8k)216(4k21)0，所以x1,2，所以x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当时，2，此时 为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，2.故存在常数，使得为定值.
